Az algebrai problémák összegyűjtése
REÁL SZÁMOK II
§ 38 A racionális számok tizedes alakja
A gyakorlatban általában a tizedes számot, a racionális számok írásmódját használják. Tehát, ahelyett, hogy 1/2 írni 0.5; helyett - 3/8 írnak - 0,375; az 5/4 helyett 1,25-et írnak stb. Az egyszerűség érdekében a jövőben csak pozitív és megfelelő frakciókról beszélünk, vagyis a 0 és 1 közötti intervallumban lévő frakciókról.
A m / n szám tizedes alakjának megszerzéséhez. Szükséges a "sarok" elosztása n-be. Amint az az aritmetikából ismert, ennek a megosztottságnak köszönhetően vagy egy végeset kapunk. vagy egy végtelen számú periodikus tizedes. Ezt illusztráljuk a 5/16 számokkal. 1/3 és 29/110.
5/16 = 0,3125 (végső tizedes tört);
1/3 = 0,3333. (egy végtelen, háromszoros időszakonként);
29/110 = 0,26363. (egy végtelen, 63 periódusú periodikus tizedes).
Az időszak a vessző után (például 0.333.), Vagy több tizedesjegy után, amely nem szerepel az időszakban (például 026363.). Ennek megfelelően minden periodikus tizedes törtrész egyszerű (például 0,333) és kevert (például 0,26363).
A végtelen tizedes frakció, amelyet az egész számok "sarokkal" történő osztása eredményeként nyerünk, bármely természetes szám lehet; Csak abban az esetben, ha egy kilencből áll, kizárt. (Ezt a tényt nem szigorúan igazoljuk.) Azt is megjegyezzük, hogy bármely véges tizedes törtszám egy végtelen időszakos frakciónak tekinthető a 0. periódusban. Például,
így minden racionális szám képviselhetõ egy végtelen, idõszakos tizedes törtként, amelynek idõszaka eltérõ a 9-etõl.
Az ezzel ellentétes állítás igaz: minden 9-től eltérő periódusú végtelen frakció racionális szám.
Az állítás igazolását el kell halasztani a 48. §-ra. Időközben csak az ismert számtani szabályokból kell felidézni az időszakos tizedes törtek hagyományos sorozatok inverziójára. Az egyszerűség kedvéért azt feltételezzük, hogy minden tizedesjegyünk pozitív és kevesebb mint egy.
1. szabály kezelésére egy egyszerű időszakos, lövés a szokásos, amit tennie kell, a következő: fel a tört számlálója során tized, a nevező az a szám, amely kilences venni, ahányszor karakterek időszakban decyatichnoy frakcióból.
2. szabály kezeléséhez időszakos vegyes a szokásos decimális szükséges eljárni a következő: hogy a számlálóban a számot a decimális frakcióval egy második időszakban, mínusz a számot a decimális az első időszakban; nevezője kell írni annyi kilences számokkal abban az időszakban, és neki tulajdonított annyi nullákkal számjegy az eredeti tizedesvesszőt, mielőtt az első időszakban. Például,
Megjegyezzük, hogy a 9. periódusú végtelen periódusos frakciók szintén adott jelentéssel bírhatnak, ha formálisan az 1. és a 2. szabályt használva két egész szám arányában vannak jelen. Például az 1. szabály megadja
és így tovább. d. Az összes fenti végtelen periodikus tizedes periódussal 9 arra rannymi véges tizedes frakciókat, amelyek nyert decimális adat, ha a tizedes, előtt áll az első időszakban, nőtt 1, és az összes ezt követő decimális eldobjuk. Belátható, hogy ez nem csak azokra figyelembe venni, hanem bármely más periódusidővel tizedesre 9. Ez azt jelenti, hogy bármely véges tizedes törtet úgy reprezentálható, mint végtelen periodikus frakciókat két különböző módon: a időszak időszakban 0 és 9 Például,
0,37 = 0,37 millió. = 0,369999. ;
0,6 = 0,600000. = 0,599999.
Ez a körülmény bonyolítja a végtelen, időszakos tizedes törtek elméletének bemutatását. Ezért a jövőben egyetértünk abban, hogy egyáltalán nem beszélünk periodikus tizedesjegyekről 9-es időtartamra, minden alkalommal, amikor a megfelelő periódusos frakciókat a 0-os időszakkal helyettesítjük.
Tehát a racionális számok (és csak ők) reprezentálhatók végtelen, időszakos tizedes törtek formájában. Vannak végtelen, nem periodikus tizedesek? Ez a kérdés pozitívan megoldódott. Ahhoz, hogy ezt láthassuk, elegendő megadni egy végtelen, nem periodikus tizedes törtnek legalább egy példáját. Ilyen példa különösen frakciót ad
(a vessző után a 10, 100, 1000, 10 000, stb. számok egymás után kerülnek kinyomtatásra). Próbáld meg bizonyítani, hogy a jelzett tizedes tört valóban nem periodikus!
A következő bekezdésekben olyan speciális problémákat vizsgálunk, amelyek végtelen, nem időszakos tizedes törtekhez vezetnek.
300. Írd be végtelen tizedes törtek formájában:
301 *. Ezeket az időszakos tizedesjegyeket rendes tizedesjegyekké alakítják át:
a) 0,4444444. ; c) 4,636,363. ; e) - 2,0000777. ;
b) 10,521521. ; d) 0,573636; e) 7,090,909.
Ismeretes, hogy az m / n irreducibil frakció véges tizedes törtként reprezentálható. Milyen számmal lehet az n számot elválasztani minden további nélkül?
303 *. Miért, ha az egészeket "sarokba" osztjuk, mindig periodikus frakciókat kapunk?
304 *. Bizonyítsuk be, hogy a frakció
amelyet akkor kapunk, ha nullát követően minden természetes számot egymás után írunk, nem periodikus.