A Monti Hall • Sergei Valkovsky • Népszerű tudományos problémák az "elemeken" • Matematika

1975-ben egy tudós, a University of California Selwyn Steve (Steve Selvin), vajon mi történne, ha ebben a pillanatban, a megnyitó után az ajtó nélküli díjat kínálnak a résztvevő változtatni a választás. Ebben az esetben a játékosnak lehetősége lesz a nyereménycserére, és ha igen, milyen irányba? A kérdést feladat formájában küldte el az amerikai statisztikusnak, valamint magának Monti Hallnak, aki meglehetősen kíváncsi választ adott neki. Ennek ellenére (vagy talán hála neki) a probléma "Monti Hall probléma" néven terjedt.

A résztvevõ szerepében a Monti Hallban volt a bemutató - és az utolsó pillanatban, amikor egy kecskével kinyitotta az ajtót, a bemutató meghívta Önt, hogy változtassa meg a választását. Meg fogja-e ítélni a döntését - függetlenül attól, hogy elfogadja-e vagy sem - a győzelem valószínűségét?

Próbálj megfontolni az ugyanabban az esetben választott embereket (azaz amikor a Díj például az 1-es ajtó mögött van), különböző ajtók. Ki részesülhet választása megváltoztatásában, és ki nem?

Ahogyan azt az eszköztippben javasoljuk, fontolóra vesszük azokat a személyeket, akik különböző választási lehetőségeket születtek. Tegyük fel, hogy a díj az 1-es ajtó mögött, az ajtók száma 2 és a 3-as kecske mögött van. Hozunk hat embert, és mindegyik ajtót két ember választotta ki, és minden párból az egyik később megváltoztatta a döntést, a másik pedig - nem.

Megjegyezzük, hogy a kiválasztott ajtót №1 vezető nyílt egy vagy két ajtó az ízlése, ugyanakkor ettől függetlenül, az autó kap, aki nem fogja megváltoztatni az általuk választott, amely megváltoztatta az eredeti választásukat nélkül marad díjat. Most nézzük meg azokat, akik az ajtókat választották # 2 és # 3. Mivel az autó az ajtó 1 szám mögött van, a facilitátor nem tudja kinyitni, így nincs más választása - a 3-as és a 2-es ajtókat nyitja meg. Ugyanakkor az, aki mindkét párban megváltoztatta a döntést, úgy dönt a Díjat, és nem a megváltozottat - a maradék nélkül marad. Így a három ember, aki megváltoztatta a döntést, a két kap díjat, és egy - egy kecske, míg az egyik a három, aki elhagyta az eredeti választás változatlan kap csak egy díjat.

Meg kell jegyezni, hogy ha az autó kívül esett a 2-es vagy a 3-as számon, az eredmény ugyanaz lenne, csak az adott nyertesek változnának. Így feltételezve, hogy kezdetben mindegyik ajtót egyenlő valószínűséggel választják ki, akkor azt kapjuk, hogy azok, akik megváltoztatják a választásukat, kétszer olyan gyakran nyerik meg a díjat, vagyis a nyerési valószínűség nagyobb.

Nézzük ezt a problémát a valószínűségi matematikai elmélet szempontjából. Feltételezzük, hogy az egyes ajtók kezdeti megválasztásának valószínűsége megegyezik, valamint annak a valószínűsége, hogy az autó minden ajtó mögött megtalálható. Ezenkívül érdemes fenntartani, hogy a vezető, ha két ajtót tud nyitni, egyenlő valószínűséggel választja ki mindegyiket. Aztán kiderül, hogy az első döntés a valószínűsége, hogy a díjat a kiválasztott ajtó 1/3, míg annak valószínűsége, hogy ő - az egyik a másik két ajtó, 2/3. Ugyanakkor, miután a vezető kinyitotta az egyik a két „nem kiválasztott” ajtók, az egész valószínűsége 2/3 át csak az egyik megmaradt ajtók, ezáltal alapot változik a határozatot, amely növeli a nyerési valószínűsége 2-szer. Ez természetesen nem garantál semmilyen konkrét esetet, hanem eredményesebb eredményeket eredményez a kísérlet ismételt megismétlése esetén.

utószó

Azonban Gardner volt az első, már a 1889 az ő „valószínűség számítás” francia matematikus Joseph Bertrand (nem tévesztendő össze az angol Bertrand Russell!) Kínál hasonló probléma (lásd Bertrand doboz paradoxon.): «Három doboz, egyenként ebből két érme fekszik: két arany érme az első, két ezüst érme a második, és két különböző érmét a harmadik. Véletlenszerűen kiválasztott dobozból véletlenszerűen húzott érme, ami kiderült, hogy arany. Mi a valószínűsége annak, hogy a dobozban lévő érme arany? "

Ha megérted mindhárom probléma megoldását, könnyű látni ötleteid hasonlóságát; matematikailag mindegyik egyesítik a feltételes valószínűség fogalmát, vagyis az A esemény valószínűségét, ha ismert, hogy a B esemény bekövetkezett. A legegyszerűbb példa: annak a valószínűsége, hogy egy egység leesett egy hagyományos szerszámra, 1/6; Ha azonban tudjuk, hogy a leesett szám páratlan, akkor annak valószínűsége, hogy egy egység lesz 1/3. A Monte Hall problémája, mint a két másik probléma, azt mutatja, hogy a feltételes valószínűségeket óvatosan kell kezelni.

Ezek a problémák gyakran nevezik paradoxon: Monty Hall-paradoxon, a paradoxon dobozok Bertrand (ez utóbbi nem tévesztendő össze egy igazi paradoxon Bertrand, mivel ugyanabban a könyvben, ami bizonyítja a kettősség, ami létezett, a koncepció a valószínűség) - ami azt jelenti, ellentmondás (például " a hazugság paradoxonja "kifejezés" ez az állítás hamis "ellentmond a kizárt harmadik törvényének. Ebben az esetben azonban nincs szigorú kijelentésekkel ellentétes. De nyilvánvaló ellentmondás van a "közvéleményben" vagy egyszerűen "a probléma nyilvánvaló megoldásában". Valójában a legtöbb ember, a problémát megvizsgálva, úgy véli, hogy az egyik ajtó megnyitása után valószínű, Így azt állítják, hogy nincs különbség, egyetértenek vagy nem értenek egyet a döntésük megváltoztatásában. Ráadásul sok embernek nehézségei vannak a válasz megértésében, ettől eltérően, még miután elmondták nekik egy részletes megoldást.

Monti Hall válasza Steve Selvinnek

1975. május 12

Steve Selvinhez,
a biostatisztika professzora,
University of California, Berkeley.

Köszönöm, hogy küldött nekem egy feladatot az "amerikai statisztikákból".

Bár nem tanulmányoztam az egyetem statisztikáit, tudom, hogy a számok mindig felhasználhatók az előnyökhöz, ha manipulálni akartam őket. Az érvelés nem veszi figyelembe az egyik lényeges körülményt: az első doboz üres, a résztvevő már nem változtathatja meg a választását. Tehát a valószínűségek ugyanazok maradnak: a három közül az egyik, nem? És persze, miután az egyik doboz üres, az esélyek nem válnak 50-50-ig, de ugyanazok maradnak - a három közül az egyik. A résztvevõ csak úgy látszik, hogy egy dobozból megszabadulva nagyobb esélyeket kap. Egyáltalán nem. Két-egy ember ellen, ahogy volt, az maradt. És ha hirtelen hozzám jön a show-nál, a szabályok ugyanazok maradnak az Ön számára: a dobozok cseréje a választás után.

Legközelebb azt javaslom, hogy játsszon a bíróságon. Kémiai és zoológiai tanulmányokat folytattam. Szeretné tudni, hogy mi a túlélés esélye szennyezett levegőn és vízen?

Tisztelettel,
Monty