lineáris programozási feladat
Amikor ZLP formáját ölti
Tekintsük dimenziós koordináta térben rendezett aggregátumok (pontok).
Meghatározás 3.1. A pontok halmaza a térben. koordináták gyöke az egyenletnek. ahol legalább az egyik szám () különbözik a nullától, ez az úgynevezett hipers'ık helyet.
Definíció 3.2. A pontok halmaza a térben. koordináták megfelelnek az egyenlőtlenséget. hívott fél-terek. elrendezett egyik oldalán
A tér az egyenlet határozza meg, egy egyenes vonal, az egyenlőtlenség határozza meg a fél-síkban.
Meghatározás 3.3. A pontok halmaza a térben. koordináták amely egyidejűleg kielégítik hipersíkokat rendszer () nevezzük a kereszteződésekben a hipersíkokat.
Meghatározása 3.4.Vypukloy lineáris kombinációja pixel. . ... teret nevezzük pontot (.).
A konvex lineáris kombinációja két pont a térben egy összekötő szakasz ezeket a pontokat.
Meghatározás 3.5. A pontok halmaza a térben konvex, ha együtt annak két pontot, és tartalmaz egy tetszőleges lineáris kombinációja (azaz tartalmaz, együtt bármely két pont, és minden pont a szegmens).
Definíció 3.6. Határpont az úgynevezett névleges értéke, ha bármikor tetszőlegesen kis környezetében szereplő pontok ezt meg, és pont nem tartozik rá.
Meghatározás 3.7. Egy sor az úgynevezett zárt. ha tartalmazza az összes határpont, különben - egy nyitott kérdés.
Definíció 3.8. Egy pont az úgynevezett sarokpont egy zárt konvex halmaz, ha nem ábrázolható lineáris kombinációjával bármely két másik különböző pontjain ezt meg.
Meghatározás 3.9. Egy sor az úgynevezett korlátozott. ha van egy gömbsugárral véges hosszúságú középső bármely pontján a készlet, amely teljesen tartalmazza az adott készüléket. Egyébként sok úgynevezett korlátlan.
Definíció 3.10. A készlet az úgynevezett kötési yaznym. ha minden két pontot össze lehet szaggatott vonal (vagy folytonos görbe) fekvő teljesen a készletben.
Definíció 3.11. Nyitott kapcsolatban set nevezik a domain.
Definíció 3.12. Ha a terület tartalmazza valamennyi határpont, ez az úgynevezett zárt területet.
Definíció 3.13. Zárt konvex terület, amelynek véges számú szögletes pontot nevezzük dimenziós konvex politóp.
Meghatározás 3.14. Zárt konvex halmaz, amely véges számú szögletes pontot nevezzük dimenziós konvex poliéder
Meghatározása 3.15.Peresecheniem beállítja a pontok halmaza, amely egy közös része ezeket a csomagokat.
Definíció 3.16. Egy nem üres halmaza megvalósítható megoldásokat ZLP nazyvayutmnogogrannikom tervek (döntések).
Definíció 3.17. Sarokmegoldások poliéder pont az úgynevezett csúcs.
Definíció 3.18. A csúcsok tervek nem negatív koordináták úgynevezett referencia. A megfelelő terv az úgynevezett támogatási tervet.
A definíciók az következik, hogy minden csúcsa a poliéder megfelel egy referencia oldatok ZLP tervet.
Definíció 3.19. Basic terv az úgynevezett nem-degenerált. ha nem tartalmaz pontosan pozitív koordinátákat, és degenerált. ha kevésbé pozitív koordinátákat.
3.1 Tétel (alaptétele lineáris programozás). Ha ZLP van egy optimális megoldás az objektív függvény veszi a szélsőséges érték az egyik csúcsot a terveket. Ha a cél függvény szélső értéke több mint egy csúcsot, akkor ő veszi bármely pontján, hogy a konvex kombinációja.
Definíció 3.20. Ha a cél függvény szélső értéke egynél több felső terveit a poliéder, akkor azt mondjuk, hogy a ZLP van egy optimális megoldás.
Definíció 3.21. A pontok halmaza teszik ki a terület lehetséges megoldást, ha a két kontroll változókat nevezzük sokszög megoldások (tervek).
Sokszög megoldások lehet lapos sokszög, korlátlan különböző sokszögű, szegmens. Geometriailag ZLP jelentése keresési pont sokszög megoldásokat szállít, amelynek koordinátái lineáris célfüggvény maximális vagy minimális értéket, az elfogadható megoldások megoldások minden pontja a sokszög.
Tekintsük a grafikus módszerrel oldja meg a ZLP.
1) Tegyük fel, hogy a rendszer az egyenlőtlenségek (3.1) konzisztens (legalább egy ponton, amely megfelel az összes korlátok egyszerre). A koordinátasík mi megépíteni a készlet lehetséges megoldásokat, amelyek megfelelnek a határértékeket (3.1). Mindegyik egyenlőtlensége a rendszer (3.1) meghatároz egy fél-sík () a határvonal ().
Tegyük fel például, a félig által meghatározott sík a egyenlőtlenség. A konstrukció a fél-sík () elegendő ahhoz, hogy helyettesítse a megfelelő egyenlőtlenség bármely pont koordinátáit (például, (0, 0)), hogy ellenőrizze az érvényességét ez az egyenlőtlenség. Ha az egyenlőtlenség igaz, akkor van szükség, hogy leárnyékolja a félsíkra tartalmazó ebben a kérdésben. Ha az egyenlőtlenség hamis, akkor a félig árnyékban, amely nem tartalmazza az adott pontban.
Feltételei nemnegativitását kontrollváltozó. meghatározzák a félig sík határvonalak. (Első negyedévben a koordináta). Mivel a rendszer korlátai együtt, a félig sík közös területen. A kereszteződés félig sík konvex halmaz és egy ponthalmaz, amelynek koordinátái érvényes megoldásokat.
2) Construct a gradiens a célfüggvény (ebben az esetben, a geometriai vektor):
A kiindulási pont és a végpont. mutatja az irányt a legnagyobb növekedést a célfüggvényt.
3) megépíteni a vonal szintű a célfüggvény. Ez a vonal egy egyenes vonal (ha megkapjuk nulla vonalat. Cm. Ábra. 3.1), és ez merőleges a gradiens. Általános szabály, hogy célszerű választani egy értéket úgy, hogy a megfelelő szintre a vonal volt a különböző megvalósítható megoldásokat legalább két közös pontja.
4) A probléma megoldásához a maximális a funkciót kell mozgatni a szinten vonal a gradiens irány, amíg akkor nem csak egy közös pont a beállított megengedett megoldások. Ez a pont határozza meg egyetlen határozat ZLP lesz szélsőérték (maximum). A probléma megoldásának minimalizálásának funkció, mozgassa a szintvonal az ellenkező irányba a gradiens akár amíg ő nem csak egy közös pont a beállított megengedett megoldások. Ez a pont határozza meg egyetlen határozat ZLP lesz szélsőérték (minimum).
5) Keresse meg a koordinátákat a sokszög csúcsainak, ami egy szélsőérték. Ehhez meg kell oldani egy egyenletrendszert a vonalak, ami a tetején ez a kereszteződés.
6) Számítsuk ki a értéke a célfüggvény a kapott tetején.
Megjegyzés 3.1. Ha mozognak a gradiens szintvonal soha nem hagyja el a beállított megvalósítható megoldásokat, akkor ez a halmaz végtelen irányába optimalizálás. Ebben az esetben, általános vélekedés, hogy vagy.
Megjegyzés 3.2. ZLP nem lesz megoldás, ha a beállított megengedett megoldások üres. Ez azt jelenti, hogy a rendszer a megszorítások ellentmondásos egyenlőtlenség, valamint a koordinátasík nincs értelme, amely kielégíti mind a megszorítások egyszerre.
Megjegyzés 3.3. A döntés ZLP grafikus módszerrel tud felelni az esetben, ha a szint a vonal párhuzamos azzal az egyik oldalán egy konvex sokszög megengedett megoldások, és ezen az oldalon van az irányba optimalizálás. Ezután az optimális értéke az objektív függvény megvalósítható a két sarokpontjait (csúcsok) a domain megengedett megoldások, és így, az összes pontot a szegmens ezeket összekötő csúcsokat, azaz ZLP végtelen számú oldatok (alternatív optimális).
Példa 3.1. A cég gyárt kétféle jégkrém: vaj és a csokoládé. két kiindulási anyag gyártásához felhasznált jégkrém: tej és töltőanyagok, a költségek, amelyek per 1 kg jég-krémmel és DSA készletek vannak adva az alábbi táblázatban:
A kiindulási anyag elfogyása per 1 kg jég-krém
Tanulás piac azt mutatta, hogy a napi kereslet fagylalt meghaladja a kereslet a csokoládé nem több mint 100 kg. Továbbá azt találtuk, hogy a kereslet a csokoládé fagylalt nem haladja meg a 350 kg naponta. Eladási ár 1 kg fagylaltot 16 rubelt. csokoládé - 14 rubel. Mi az a szám, fagylalt fajonként kell mutatnia
cég profitálni a termékek értékesítését volt a legmagasabb? [1; 2].
Határozat. Jelöljük kontroll változók: - a napi mennyiség a fagylaltot, kg; - a napi mennyiség csokoládé fagylalt, kg. Építünk a matematikai modell a probléma. A célfüggvény fog kinézni.
Elkészíti az egyenlőtlen erőforrás-korlátok. Korlátozását tej következőképpen :; A töltőanyagok :. Mi elkészíti az egyenlőtlen piaci korlátok igény. A különbség a napi igény kétféle fagylaltot. A korlátozás a napi kereslet csokoládé fagylalt.
Aztán egy matematikai modellt a probléma az űrlap
Továbbá, egy grafikus módszer megoldja a problémát.
1) építünk a beállított megengedett megoldások. Egyenlőtlenség definiálja a félig síkon, hogy a bal és a vonal alatt. azaz az egyenes vonal. Egyenlőtlenség definiálja a félig síkon, hogy a bal és a vonal alatt. Korlátozása meghatározza a fél-síkon, a bal és a vonal alatt. Korlátozás határoz félsíkban elhelyezve, hogy a bal oldalon a vonal. korlátozásokat. meghatározunk egy első koordináta negyedévben. ZLP halmaza megvalósítható megoldások nem üres. Jelöljük a megoldásokat a sokszög csúcsai (3.2 ábra.).
2) Construct a gradiens a célfüggvény:
3) megépíteni a vonal szintű a célfüggvény. . szintvonal merőleges a vektorba.
4) Állítsuk az vonal irányába önmagával párhuzamosan, azt találjuk, a végső pont, ahol a célfüggvény fogja hagyni a területet a megvalósítható megoldásokat (szaggatott vonal az ábrán. 3.2). Határpont a sokszög - pont.
5) Keresse meg a pont koordinátáit a metszéspontja vonalak és:
6) Keresse értéke a célfüggvény pontban: