Csillapított és kényszerített oszcilláció - ellenőrzési munka
Az oszcilláló rendszer Q-tényezője.
A valódi rendszer saját oszcillációi. A csillapított oszcillációk differenciál egyenlete. Csillapítási tényező.
Korábban figyelembe vettük a konzervatív (ideális) oszcilláló rendszerek belső ingadozását. Ilyen rendszereknél olyan harmonikus oszcillációk keletkeznek, amelyeket az amplitúdó és az idő állandósága jellemez, és amelyeket a következő differenciálegyenlet ír le
Valódi oszcillációs rendszerekben az oszcillációkat (ellenállóképességet) megelőző erők mindig jelen vannak. Például a mechanikus rendszerekben mindig van egy súrlódási erő. Ebben az esetben az oszcilláció energiája fokozatosan a munka során a súrlódási erő ellen. Ezért az oszcillációk energia- és amplitúdója csökken, és az oszcilláció bomlik. Az elektromos oszcilláló áramkörben az oszcillációk energiája a vezetékek fűtésére fordul. Vagyis az igazi oszcilláló rendszerek disszipatívak.
A valódi rendszerek saját rezgései csillapodnak.
Az oszcillációk egyenletének egy valódi rendszerben való megszerzéséhez figyelembe kell venni az ellenállóképességet. Sok esetben feltételezhetjük, hogy az S értékének kisebb mértékű változása esetén a húzóerő arányos a sebességgel
ahol r az ellenállás együtthatója (súrlódási tényező a mechanikai rezgéseknél), és a mínusz jel azt jelzi, hogy az ellenállási erő ellentétes a sebességgel.
A (2) képletben lévő ellenállóképesség helyettesítve egy differenciálegyenletet kapunk, amely leírja az oszcillációkat a valós rendszerben
Az összes kifejezést balra továbbítjuk, osztjuk m-val, és bevezetjük a következő jelölést
Mint korábban, az ω0 értéke meghatározza az ideális rendszer természetes oszcillációinak gyakoriságát. A β értéke jellemzi az energia disszipációját a rendszerben, és ez a csillapítási együttható. Az (5) képletből kiderül, hogy a csillapítási együttható csökkenthető az m értékének megnövelésével r állandó értéken.
Figyelembe véve a bevezetett jelölést, megkapjuk a csillapított oszcillációk differenciálegyenletét
A csillapított oszcillációk differenciálegyenletének megoldása. A csillapított oszcillációk amplitúdója és gyakorisága.
Megmutatható, hogy a csillapítási együttható kisebb értékei esetében a csillapított oszcillációk differenciálegyenletének általános megoldása a következő
ahol a sziné előtt lévő értéket a csillapított oszcillációk amplitúdójának nevezik
A csillapított oszcillációk ω frekvenciáját a következő kifejezés határozza meg
A fenti (7) képletből következik, hogy egy valódi oszcilláló rendszer természetes oszcillációs frekvenciája kisebb, mint egy ideális rendszer oszcillációs frekvenciája.
A csillapított oszcillációk egyenletének grafikonját az ábrán mutatjuk be. A tömör vonal mutatja az S (t) elmozdulási grafikont, és a vonalkód-vonal jelzi a csillapított oszcillációk amplitúdójának változását.
Figyelembe kell venni, hogy a csillapítás következtében a mennyiségek nem minden értékét ismételjük meg. Ezért szigorúan szólva a frekvencia és az időtartam fogalmai nem alkalmazhatók a csillapított oszcillációra. Ebben az esetben az időszak azt az időintervallumot jelenti, amely után az ingadozó mennyiségek a maximális (vagy minimális) értékeket veszik figyelembe.
Logaritmikus csökkenés csökkenés. Az oszcilláló rendszer Q-tényezője. Aperiódos folyamat.
A csillapított oszcillációk amplitúdójának csökkenési sebességének számszerűsítésére logaritmikus csillapítás-csökkenést (δ) vezetünk be.
A csillapítás logaritmikus csökkenése az amplitúdók arányának természetes logaritmusa a tt és a t + T időpontokban, azaz. egy bizonyos időszakra eltérőek.
Definíció szerint a logaritmikus csökkenést a következő képlet adja meg
Ha ehelyett a amplitúdóval (8) általános helyettesítésére a (6), megkapjuk a képlet vonatkozó logaritmikus Csökkentés a csillapítási együttható és időtartam
Az időintervallum τ. amely alatt az oszcillációk amplitúdója egy e tényezővel csökken, a relaxációs időnek nevezik. Ezt szem előtt tartva kapjuk meg, ahol N az oszcillációk száma, amelyek során az amplitúdó egy e tényezővel csökken. Vagyis a logaritmikus csillapítás csökkenése fordítottan arányos az oszcillációk számával, amelyek során az amplitúdó csökken. Ha például β = 0,001, akkor ez azt jelenti, hogy 100 oszcilláció után az amplitúdó egy e tényezővel csökken.
Q oszcilláló rendszer úgynevezett dimenziómentes velichinaθ egyenlő a számát és a kapcsolat energiiW 2π (t) oszcilláció egy tetszőleges időben, és ez az energia veszteség az egyik időszakban csillapodó rezgéseinek
Mivel az energia arányos a tér a rezgés amplitúdója, majd helyett az energiát a képlet (10) négyzetének amplitúdók képlet által meghatározott (6), megkapjuk
Jelentéktelen csillapítással és. Ezt figyelembe véve írhatunk a Q-ra
Az itt bemutatott kapcsolatok különböző oszcillációs rendszereknél írhatók le. Ehhez elegendő S. m. k és r helyére a megfelelő oszcillációkat jellemző megfelelő értékek lépnek. Például elektromágneses oszcilláció esetén S → q. m → L. k → 1 / C és r → R.
W-dik nagy β értéke csillapítási tényező nemcsak gyors csökkenés amplitúdó, hanem nőtt a rezgési periódus. A (7) képletből látható, hogy amikor az oszcillációk ciklikus frekvenciája eltűnik (T = ∞), azaz. nincsenek oszcillációk. Ez azt jelenti, hogy minél nagyobb az ellenállás, az összes energiát közöl a rendszer az időben a visszatérés az egyensúlyi állapot töltött munka elleni ellenállás erő. Az egyensúlyi helyzetből visszavont rendszer az energia tartalék nélkül visszatér az egyensúlyi helyzetbe. Azt mondják, hogy a folyamat aperiodikus. Az egyensúly megállapításához szükséges időt az ellenállás érték határozza meg.
Az olvasó felkérést kap arra, hogy rájöjjön, hogyan érinti az r értékeit. m. T1 és φ0 az igazi oszcilláló rendszer rezgő karakterére.
Ehhez mozgassa a kurzort a diagram fölé, és kattintson duplán az aktiváláshoz. Ezután a megnyitott ablakban változtassa meg a színes cellákban megadott értékeket. Az ütemtervvel végzett munkák végeztével az EXEL táblát zárva kell tartani az adatok mentésével vagy anélkül.
Kérdések önvizsgálatra:
Húzza ki a csillapított oszcillációk egyenletét. Milyen grafikonon van a csillapított oszcilláció egyenlete?
Milyen képlet határozza meg a csillapítási együtthatót? Hogyan csökkenthetem a csillapítási tényezőt?
Írja le a változás törvényét a csillapított oszcillációk amplitúdójában.
Milyen képlet határozza meg a valódi oszcilláló rendszer természetes ingadozásainak gyakoriságát?
Mi jellemzi a logaritmikus csillapítás csökkenést?
Mit értünk az oszcillálórendszer Q-tényezőjével?