négyszögesítés képletek
1 Tulajdonságok és szerkezete az algoritmus
1.1 Általános leírás Az algoritmus
A probléma az egydimenziós numerikus integráció a közelítő kiszámítása határozott integrál mentén szegmens: kell számítani
ahol [matematikai] f (x) [/ matematikai] - integrálható függvény definiált intervallumon [matematikai] [a, b] [/ Math].
Numerikus integráció ocuschestvlyaetsya segítségével kvadratúra képletek - közelítő egyenletek formájában
[Math] I \ kb \ sum \ limits_ ^ n C_i f (x_i). [/ Math]
Az összeg a jobb oldalon az úgynevezett kvadratúramodulátort összeget; különböző pontjain [matematikai] x_i [/ matematikai] intervallumot [matematikai] [a, b] [/ Math] úgynevezett csomópontok, és a szám [matematikai] C_i [/ Math] - együtthatók kvadratúra képlet.
Jelentése kvadratúra kapott összegeket egy hozzávetőleges értéke az integrál függ a választott csomópont [matematikai] x_i [/ matematikai] és együtthatók [matematikai] C_i [/ Math]. Értékének kiszámításakor a kvadratúra- összege az alap egyszeri költségek kiszámításakor figyelembe integrandus értékek a csomópontok.
Quadrature hiba formula a különbség
Ha a funkció [matematikai] f (x) [/ matematikai] oly módon, hogy [matematikai] R_n (f) = 0 [/ Math]. akkor azt mondjuk, hogy a pontos képletet a kvadratúra funkciót [matematikai] f (x) [/ Math].
Egész szám [matematikai] k \ ge0 [/ matematikai] nevezett algebrai pontosságát kvadratúra képlet, ha a kvadratúra képlet pontos bármely polinom fokozatot [matematikai] K [/ matematikai] és nem pontos a polinom foka [matematikai] k + 1 [ / math].
Ha egy kvadratúra képletű [matematikai] N [/ Math] csomópontok van algebrai pontossággal [matematikai] K [/ Math]. A [matematikai] k \ le 2n-1 [/ Math].
Széles körben ismert, kvadratúra képletek kapott megváltoztatásával integrandust [matematikai] f (x) [/ matematikai] algebrai interpolációs polinom, amelynek értékei egybeesnek függvények értékeit az a [matematikai] N [/ matematikai] csomópontok [matematikai] x_i [/ matematikai]; ilyen kvadratúra képletek nevezzük interpolációval. A hiba Interpoláló a becslés a kvadratúra- képlet
ahol [matematikai] M_n = \ max \ limits_ | f ^ (x) | [/ Math]. [Math] \ omega_n (x) = \ Prod \ limits_ ^ n (x-x_i) [/ Math].
Ha Quadrature interpoláció formula [matematikai] N [/ Math] csomópontok van algebrai pontossággal [matematikai] K [/ Math]. A [matematikai] k \ ge n-1 [/ Math].
1.1.1 A Newton-Cotes
A Newton-Cotes úgynevezett interpolációs kvadratúra képletű, [matematikai] N [/ Math], amely csomópontok vannak beállítva ekvidisztáns: [matematikai] x_1 = \ frac2 [/ matematikai] át [matematikai] n = 1 [/ matematikai] és [matematikai] x_i = a + (i-1) \ frac, 1 \ le i \ le n [/ matematikai] át [matematikai] n \ GT1 [/ Math].
A neve a fenti általános képleteknek kapott a memóriában a tény, hogy azok kielégítően általános formában tartották a Isaac Newton, és ezek együtthatói [matematikai] 1 \ le N \ le 10 [/ matematikai] találtak Roger Cotes.
A legtöbb jól ismert képletek Newton-Cotes képletű közepes téglalapokat ([matematikai] n = 1 [/ Math])
és trapézok képletű ([matematikai] n = 2 [/ Math])
algebrai pontosságát mindegyik értéke 1, és ezek a hibák a következő becsléseket
Newton-Cotes formulák [matematikai] n = 3 [/ matematikai] és [matematikai] n = 4 [/ Math] Simpson-féle képlet vannak
is hivatkozunk képletű parabolákat és három-eighths képletű
akinek a neve származik a hányados 3/8; algebrai pontosságának mértékét mindegyik 3, és az értékelés a hibák érvényesek
Algebrai pontossággal képletű Cotes Newton [matematikai] N [/ Math] csomópontok egyenlő [matematikai] n-1 [/ Math] még [matematikai] N [/ matematikai], és egyenlő a [matematikai] N [/ Math] páratlan [matematikai] N [/ Math].
Az együtthatók a Newton-Cotes formulák pozitívak [matematikai] 1 \ le n \ LE8 [/ matematikai] és [matematikai] n = 10 [/ Math]. és amikor [matematikai] n = 9 [/ matematikai] és [matematikai] n \ ge11 [/ matematikai] között az együtthatók pozitív és negatív.
Pozitivitás együtthatók kvadratúra képletű elengedhetetlen a gyakorlati alkalmazását. Az a tény, hogy kiszámításakor az integrál összeg kerekítési hibák pontosságát befolyásolni az eredményt az erősebb, annál inkább a [math] \ sum \ limits_ ^ n | C_i | [/ math]. A Cotes formulák, Newton, ez az összeg növeli anélkül kötött [matematikai] n \ to \ infty [/ Math]. Ezért, a nagy [matematikai] N [/ matematikai] Cotes formulák, Newton gyakorlatilag használhatatlan.
Így, annak érdekében, hogy használni a kvadratúra képletek a nagyszámú csomópontot kell utasít vagy kvadratúra képlet interpolációt, vagy kérik egyenlő távolságra csomópontok.
1.1.2 Kompozit kvadratúra képletek
A komponenseket nevezzük kvadratúra képletek, az építési, amely a következőképpen hajtjuk végre. Integration intervallum [matematikai] [a, b] [/ Math] feloszthatjuk [matematikai] m [/ Math] szegmensek egyenlő hosszúságú [matematikai] H = \ dfracm [/ Math]. Ezután a tulajdonsága additivitását integrál kiszámítható összegeként integrálok felett időközönként a partíciót. Közelítő számításhoz az egyes kifejezések ezen összeg használunk, ugyanaz a kvadratúra képletű, ismert, mint az eredeti.
Algebrai pontosságát a kvadratúra komponensét képletű egybeesik az eredeti algebrai pontosságát.
Ha a kezdeti kvadratúra képletű képletű válassza szekunder téglalapok, trapézok képletű vagy Simpson-féle képlet, az alábbi összetett kvadratúra képletek kapunk:
komponenst képletű Közepes téglalap
[Math] I \ kb h \, (\ sum \ limits_ ^ m f (a + ih- \ frac)) [/ matematikai]a csomópontok száma [matematikai] m [/ matematikai] és hiba becslése
összetett trapéz szabály
a csomópontok száma [matematikai] m + 1 [/ matematikai] és hiba becslése
Simpson kompozit képletű
[Math] I \ kb \ frac \, (f (a) + F (b) +2 \ sum \ limits_ ^ f (a + ih) +4 \ sum \ limits_ ^ mf (a + ih- \ frac)) [/ Math]a csomópontok száma [matematikai] 2m + 1 [/ matematikai] és hiba becslése
1.1.3 Gauss kvadratúra képletű
Mint fentebb említettük, ha a kvadratúra képletű [matematikai] N [/ Math] egy interpolációs csomópontok, algebrai pontosság mértékét nem kevesebb, mint [matematikai] n-1 [/ matematikai]; bármely adott építési az interpolációs csomópontok a kvadratúra képletű végezzük kiválasztásával a [matematikai] N [/ Math] együtthatók. Mivel a kiválasztási [matematikai] N [/ Math] csomópontok kvadratúra interpolációs képletű biztosítani tudja, hogy van egy esetleg magasabb algebrai pontossággal, nevezetesen [matematikai] 2-n-1 [/ Math].
A probléma építésekor kvadratúra képletű nézett Karl Friedrich Gauss; ő bizonyította megoldhatóságának.
A kvadratúra képletű [matematikai] N [/ Math] csomópontok algebrai fokú pontosság, amely egyenlő [matematikai] 2-n-1 [/ Math]. Ez az úgynevezett Gauss kvadratúra képlet vagy formula kvadratúra- legmagasabb algebrai pontosságát.
Abban az esetben az intervallum [matematikai] [- 1,1] [/ Math] Quadrature képletű
[Math] \ int \ limits_ ^ 1 f (t) \, dt \ kb \ sum \ limits_ ^ n c_i f (t_i) [/ matematikai]
egy Gauss kvadratúra képlet, ha, és csak akkor, ha ez egy betoldás, és komponensei [matematikai] t_i [/ matematikai] a gyökerek a Legendre polinom
Különösen, ha a [matematikai] n = 2 [/ matematikai] és [matematikai] n = 3 [/ Math] Gauss kvadratúra képletek a intervallum [matematikai] [- 1,1] [/ Math] a következők:
[Math] \ int \ limits_ ^ 1 f (t) \, dt \ kb f \ left (- \ frac1 \ jobb) + F \ bal (\ frac1 \ jobbra), [/ matematikai] [matematikai] \ int \ limits_ ^ 1 f (t) \, dt \ kb \ frac59 \; f \ left (- \ sqrt \ jobb) + \ frac89 \ f (0) + \ frac59 \; f \ left (\ sqrt \ right) [. / math]
Ahhoz, hogy a Gauss kvadratúra formulát egy tetszőleges intervallumban [matematikai] [a, b] [/ Math]. kell, hogy a változás a változó
ami
A Gauss-kvadratúra képlet az intervallum [matematikai] [- 1,1] [/ Math]. így a Gauss kvadratúra képlet az intervallum [matematikai] [a, b] [/ Math].
[Math] I \ kb \ frac2 \ sum \ limits_ ^ n c_i f (x_i), [/ Math]
ahol [matematikai] x_i = 0,5 (a + b + (b-a) t_i) [/ Math]. [Math] t_i [/ Math] - Legendre polinom gyökerek [matematikai] P_n (t) [/ Math].
A hiba a Gauss kvadratúra képletű c [matematikai] N [/ Math] csomópontok a becslés
Az együtthatók a Gauss kvadratúra képletek pozitív. Ezért Gauss kvadratúra képletek nagy csomópontok száma nem vezet a komplikációk merülnek fel, amikor a Cotes formulák, Newton.
1.2 matematikai leírása algoritmus
Ha kvadratúra választott képlettel, az algoritmus a közelítő kiszámítása az integrál kiszámítása a kvadratúra összegeket, azaz a a számítás az értékeket az [matematikai] N [/ Math] csomópontok, megszorozva őket megfelelő együtthatók és összeadásával kapott számok.
Bemenetek: funkció [matematikai] f (x) [/ matematikai] és két-dimenziós tömb [matematikai] N [/ Math] szám - a tömb a csomópontok és egy sor együtthatók.
Számított adatok: szám, amelynek az értéke a kvadratúra összegek és képviselő egy hozzávetőleges értéke az integrál.