Systems irracionális, logaritmikus és exponenciális egyenletek, tartalom platform
Head. Department of Mathematics FESUH
Systems irracionális, logaritmikus és exponenciális egyenletek
Hagyományosan ellenőrző mérési anyagok egységes állami vizsga matematikából olyan feladatokat tartalmaz ellenőrzésére képes a diplomások, hogy megoldja a különböző egyenletek. Általános szabály, hogy ez egy olyan rendszer két egyenletek két változó között. Egyenletek szerepel a rendszer lehet mind algebrai, beleértve irracionális és transzcendens. Ebben a cikkben tartjuk az alapvető módszerek való megoldására két változó irracionális, logaritmikus és exponenciális egyenletek.
Mielőtt ugrik közvetlenül a megoldási módjainak egyenletrendszerek felidézzük az alapvető meghatározások és tulajdonságait a különböző funkciók, amelyek szerepelnek az egyenletben a rendszer.
Emlékezzünk vissza, hogy a két egyenlet két ismeretlennel olyan rendszert alkot egyenletek. ha a feladat megtalálni az ilyen változók értékei, amelyek megoldásai minden egyenlet.
Megoldása a rendszer két egyenlet két ismeretlennel egy rendezett számpár. amely ha szubsztituált helyett a megfelelő változók kapjuk megfelelő numerikus egyenlőség.
Problémák a egyenletrendszert - azt jelenti, hogy megtalálja az összes megoldásokat.
Process Solutions egyenletek, mint egyenlet megoldása eljárás abból áll, szekvenciális váltás valamilyen átalakulások ez a rendszer egyszerűbb. Általában használja átalakulások, amelyek miatt az egyenértékű rendszer, ebben az esetben nincs szükség ellenőrzését megoldást találtak. Ha neravnosilnye átalakulások használtak, ellenőrizze a megoldásokat találni.
Úgynevezett irracionális egyenlet, amelyben a változó tartalmazza a gyökér jel vagy a jel működésének emelése frakcionált hatalom.
Meg kell jegyezni, hogy a
1. Minden a gyökerek még minőségben, az egyenletek, számtani. Más szóval, ha egy radikális kifejezés negatív, a gyökér nincs értelme; ha a radicand nulla, a gyökér is nulla; ha a radicand pozitív, akkor a gyökér pozitív.
2. Minden gyökerei páratlan fokú, szerepel az egyenletben definiált bármely valós értékét radicand. Ebben az esetben a kiváltó negatív, ha az radicand negatív; nulla, ha a radicand nulla; pozitív, ha az radicand pozitív.
Funkció y = és y = növekszik a saját domain.
A egyenletek megoldására irracionális rendszerek használata két alapvető módszer: 1) az építési mindkét része az egyenletek a pontos azonos mértékben; 2) az új változók.
Kezelésében az első módszer irracionális egyenletek szabad elfelejteni, hogy az építési mindkét része az egyenlet tartalmazó gyökereit is fokú, a pontosan ugyanolyan mértékben, megkapjuk az egyenletet, amely annak a következménye, az eredeti, tehát, Process Solutions idegen gyökereit is előfordulhat. képlet = f (x) gyakran használják megoldására az irracionális egyenletek. használunk abban az esetben is, n vezethet bővítése a meghatározás egyenlet. Ezekre (és más) okokból megoldásában irracionális egyenletek a legtöbb esetben ellenőrizni kell megoldásokat találni.
Tekintsük a példák megoldása irracionális egyenletek rendszerek különböző módszerekkel.
1. példa megoldására az egyenletrendszert
Határozat. Ahhoz, hogy megszabaduljon az irracionalitás bemutatjuk új változókat. Hagyja ........................... (1)
akkor a kezdeti rendszer lesz :. Megoldása az így kapott rendszert, például helyettesítéssel találunk. Behelyettesítve a talált értékeket (1), kapjuk :. Felemelt mindkét oldalán az első egyenlet a téren, a második - a negyedik fokozat, megkapjuk a rendszer: ahol találunk:
Ez könnyen ellenőrizhető, hogy a megoldást az utóbbi rendszer a megoldás az eredeti rendszer.
2. példa Hogy oldja az egyenletrendszert
Határozat. 1. A második egyenletből van :. Helyettesítő az első egyenletben helyett a jobb oldali, megkapjuk vagy ........................... .. (2). Bemutatjuk az új változót: ........................ készlet (3), és ebben az esetben a (2) egyenlet hozamok másodfokú egyenletet a változó.:. Találunk a gyökerei az egyenlet, például Térség tétel :. A gyökér egy idegen által megnevezett, a számtani gyökér. Behelyettesítve a (3) megkapjuk. Mi emelni mindkét oldalán a tér és expressz :.
Helyettesítse a kapott expressziós a második egyenlet az eredeti rendszer :. Fel mindkét oldalán a kapott egyenlet négyzetes, így, hogy ne szélesítsük a megengedett értékeket a kapott egyenlet, elvárjuk, hogy .................................... (4).
By (4) a gyökér egy idegen.
Keressük az y értékét, amikor :.
Ez könnyen ellenőrizhető, hogy a pár (0, 4) a megoldást az eredeti rendszer egyenletek.
3. példa Hogy oldja az egyenletrendszert:
Határozat. 1. Vegyük észre, hogy a jobb oldalon az első egyenletben, hogy nem negatív, azaz a. F ..
2. fel mindkét oldalán az első egyenlet a téren, megkapjuk az egyenlet :. Ezután a rendszer lesz :. Az első egyenlet találunk értékeket. Helyettesítsük be őket a második egyenletbe, és megtalálja a változó értékét:
.Mivel a kapott értékek nem felelnek meg a egyenlőtlenséget, pár (10, 5) nem megoldás az eredeti rendszer.
.Ez a pár értékek kielégíti az egyenlőtlenséget. Ez könnyen belátható, hogy az így kapott számpár megoldása az eredeti rendszer.
A sikeres megoldás az exponenciális és logaritmikus egyenletek rendszerek, felidézni a definíciója és tulajdonságai a logaritmus.
Chislabpo logaritmus alapja és az úgynevezett kitevő, amelyre szeretné, hogy építsenek egy számot kap chislob.
Az alapvető tulajdonságait a logaritmus:
Sorolja alapvető tulajdonságait exponenciális és logaritmikus függvények:
1) a domain a funkció, ahol - a teljes valós számok halmaza; függvény, ahol - a pozitív valós számok.
2) A beállított értékek a funkció - a pozitív valós számok; funkció - a teljes valós számok halmaza.
3) Az intervallumok monotónia, ha mindkét funkciót növekszik; ha - a két funkció csökken.
Megjegyzés. Szerint a második jellemző megoldása során logaritmikus egyenletek akkor sem kell kideríteni tartományban megengedett értékeket az egyenlet, vagy azt követően a döntést, hogy a teszt.
Szemléltető úgynevezett transzcendentális egyenlet, amelyben az ismeretlen része a kitevő néhány változó. Megoldásában exponenciális egyenletek két fő módszer:
1) Az átmenet a egyenlet ......... (1), a következő egyenlet .;
2) az új változók.
Néha szükség van, hogy alkalmazza a megoldásokat.
Az első módszer megoldására exponenciális egyenletek alapján az alábbi tétel:
Ha, akkor uravnenieravnosilno egyenlet.
Mi listát az alapvető technikákat utaló információt az egyenlet a következő egyenlet az űrlap (1).
1. Hozd mindkét része az egyenletnek egy bázishoz.
2. logaritmusát véve mindkét oldalán az egyenlet (ha ezek szigorúan pozitív) ugyanazon a hordozón.
Megjegyzés. Logaritmusa is, általánosságban elmondható, hogy bármilyen okból, de általában egy logaritmikus hatáskörét bázisok megjelenő egyenlet.
3. A bomlástermékek a bal oldalon az egyenlet és a faktoring keverési egyenlet egy sor több féle egyenletek (1).
Logaritmikus egyenlet - ez a transzcendentális egyenlet, amelyben az ismeretlen része a logaritmus az érvelés.
Két alapvető módszert alkalmaznak megoldásában logaritmikus egyenletek:
1) Az átmenet az egyenlet a egyenlet formájában;
2) az új változók.
Megjegyzés. Mivel a domain a logaritmikus funkció csak a pozitív valós számok, ha megoldása logaritmikus egyenletek akkor sem kell találni egy sor megengedett értékei (TCC), vagy miután a egyenlet megoldásai csinálni a tesztet.
A megoldás egyszerű logaritmikus egyenlet formájában
Ez alapján a következő fontos tulajdonságai logaritmus:
logaritmusainak két pozitív szám azonos pozitív eltérő a készülék alján egyenlő akkor és csak akkor, ha ezek a számok megegyeznek.
Mert egyenlet (1) ingatlan jutunk: - egyetlen gyökér.
Az egyenletek formájában ............ .. (2)
Megkapjuk az azonos egyenletet.
4. példa Find a kifejezés értékét, ha a pár egy egyenletek megoldása.
Határozat. 1. alapján a domain a logaritmikus függvény kérelmet kap.
2. Mivel a rendszer egyenleteket tartalmaznak logaritmusai két különböző bázisok, fordulunk egy bázishoz 3 :. Olyan tulajdonságokkal, logaritmus, megkapjuk a rendszer :. A definíció szerint mi a logaritmus :. A második egyenletből megkapjuk az értéket. Mivel a feltétel, arra következtethetünk, hogy - külső gyökér. Az első az utolsó egyenlet találunk az értéket, amikor :. Így pár (9; 3) az egyetlen megoldás, hogy az eredeti rendszer egyenletek.
3. Keressük a kifejezés értéke
5. példa Keresse meg a legnagyobb összeget, ha a pár egy egyenletek megoldása.
Határozat. Van egy rendszer exponenciális egyenletek. A jellemzője ennek a rendszernek, hogy a két ismeretlen a karakterisztikát és a bázis. Az első lépés a foglalkozik az ilyen rendszerek általában megpróbálja elhagyni csak ismeretlenek a kitevő.
A mi esetünkben ez nem nehéz csinálni, kifejező a második egyenletből. Behelyettesítve ezt a kifejezést az első egyenletet, megkapjuk :. Kaptunk egy exponenciális egyenlet egy változó.
Az általunk használt ingatlanok fok :. Az egyenlet magában foglalja a foka két különböző bázisok. A standard módszer az átmenet az egyik bázis osztani mindkét oldalán az egyik az állami a legmagasabb arány. A mi esetünkben, osztjuk, például, hogy szerezzen egy exponenciális egyenlet :. A standard módszer megoldására ez a fajta exponenciális egyenlet helyett a változó. Legyen (vegye figyelembe, hogy tulajdonságai alapján az exponenciális függvény értéke egy új változó pozitívnak kell lennie), akkor megkapjuk az egyenlet. Találunk a gyökerei az egyenlet; . Megoldjuk egy sor két egyenlet. Kapjuk; .
Az egyenletből találjuk a megfelelő érték a változó:
; . Így a párok megoldásokat az eredeti rendszer.
Keresse meg az összeget az űrlapot, és válasszon a számukra leginkább, ami nyilvánvalóan egyenlő 3.
Tekintsük néhány példa a „kombinált” rendszerek egyenletek, amelyek magukban foglalják a különböző típusú egyenletek: irracionális, logaritmikus, exponenciális.
6. példa megoldására az egyenletrendszert
Határozat. 1. A tulajdonságai alapján a logaritmikus függvény van,
2. Átalakítás a rendszerben, a tulajdonságok és mértéke logaritmus:
3. A második logaritmikus egyenletek tartalmazza ugyanazt a logaritmus, racionális módszert megoldani ezeket egyenletek egy módszer helyett egy változó. Legyen (1), majd a második egyenlet :. Mi megoldjuk ezt az egyenletet egy racionális, tekintettel arra, hogy. Kapunk; . Az általunk használt (1) egyenlet és kifejezett.
Mikor, hol. Mi helyettesítheti ezt a kifejezést az első egyenlet az utóbbi rendszer :. Mi megoldjuk ezt az egyenletet, mint az, hogy pozitív lesz, ez a gyökér egy kívülálló; , Majd az egyenletből, megkapjuk.
Mikor, hol. Mi helyettesítheti ezt a kifejezést az első egyenlet az utóbbi rendszer :. Azt már megállapították, hogy így nulla lehet, hogy csak a második tényező munkálatok :. Találunk a gyökerei az egyenlet. Nyilvánvaló, hogy - külső gyökér. Következésképpen, egy másik megoldás az, hogy pár a rendszert.
7. példa megoldásához a rendszer.
Határozat. 1. Figyeljük meg, hogy a vegyes típusú rendszer, tagjai logaritmikus egyenletek és irracionális. Figyelembe véve a domain a logaritmikus függvény, van; ................... (1)
A tartomány a megengedett értékeket az irracionális egyenlet nem úgy, hogy nem töltenek időt megoldása egyenlőtlenségrendszer, amely ebben az esetben történhet meg. De akkor, szükségszerűen, ha találunk a változók értékét, meg kell csinálni egy átvilágítás.
2. A log transzformációs tulajdonságokat első egyenletből:
Így a második egyenletből, fejeztük az egyik változó másik felett.
3. behelyettesítve a második egyenletbe egy változó kifejezése rajta keresztül jutunk irracionális egyenlet egy változó, amely megoldja az erekció a két rész a tér:
Találunk gyökerei a másodfokú egyenlet.
Tekintettel arra, hogy megtaláljuk a változó értékét :.
4. Figyelembe véve (1), arra a következtetésre jutottunk, hogy - külső megoldást. Következésképpen, a számpár (3, 5) nem megoldás az eredeti rendszer. A páros számok (1, 3) megfelel annak a feltételnek (1). Közvetlen ellenőrzés azt mutatja, hogy ez a pár megfelel a második egyenletben a rendszer.
8. példa megoldásához a rendszer
Határozat. 1. Tekintsük a második egyenletben a rendszer. Ahhoz, hogy megszabaduljon az irracionalitás, hogy visszavonul a négyzetgyök és emelje mindkét oldalán az egyenlet a téren:
Tekintsük ezt az egyenletet, mint egy négyzet, a változó, és megtalálja a gyökereit :; .
2. Mindkét oldalán az első egyenlet a alapú logaritmusa 3, így megszabadulunk az egyenletben az exponenciális függvények különböző okok miatt :.
3. Figyelembe véve a kifejezést változó megoldására két egyenletrendszerek:
A) helyettesíti a kifejezés az első egyenletben, megkapjuk :. Az általunk használt képlet a átmenetet egy új bázis :. Aztán a második egyenletből, van :. Így a pár egy A-oldat). Csak nézd, hogy a pár megfelel a második egyenlet az eredeti rendszer.
B) helyettesíti a kifejezés az első egyenletben, megkapjuk :. Aztán a második egyenletből, van :. Így a pár egy g D Systems). Csak nézd, hogy a pár megfelel a második egyenlet az eredeti rendszer.
Feladatok az önálló döntési
1. Oldjuk meg a rendszer
2. Oldja meg a rendszer
4. Oldja meg a rendszer
5. Oldja meg a rendszer
6. Oldja meg a rendszer