Megoldási módjait, egy lineáris algebrai egyenletek - studopediya
Megoldás rendszerek algebrai uravneniyyavlyaetsya egyik fő problémája a lineáris algebra. Ez a probléma a nagy gyakorlati jelentősége megoldásában tudományos és műszaki problémák mellett leányvállalata a végrehajtása sok algoritmusok számítógépes matematika, matematikai fizika, a feldolgozó a kísérleti eredményeket.
Egy lineáris algebrai egyenletek nevezzük egyenletrendszer a következő formában: (1)
ahol - ismeretlen; - együtthatók az ismeretlenek - a szabad feltételeket.
Az egyenletrendszer (1) bármely olyan számok halmaza, amely visznek be a rendszer (1) az a hely, az ismeretlen felhívja az összes egyenletet a megfelelő numerikus egyenlőséget.
Az egyenletrendszer nevű együttes. ha van legalább egy megoldást, és következetlen. Ha nincs megoldás.
A közös egyenletrendszer nevezett bizonyos. Ha viszont egy egyedi megoldás, és bizonytalan. ha van legalább két különböző megoldásokat.
Két egyenletrendszer úgynevezett egyenértékű vagy azzal egyenértékű. ha ugyanaz a sor megoldást.
Rendszer (1) nevezzük homogén. ha a szabad feltételek nullával egyenlő:
Homogén rendszer mindig együtt - van egy megoldás (talán az egyetlen).
Ha a rendszer (1). akkor van egy rendszer n lineáris egyenletrendszer n ismeretlennel: ahol - ismeretlen; - együtthatók az ismeretlenek - a szabad feltételeket.
A lineáris rendszer lehet egy különleges megoldás, vagy végtelen sok megoldás nincs megoldás.
Képzeljünk el egy rendszert két lineáris egyenletek két ismeretlen
Ha a rendszer egy egyedi megoldást;
Ha a rendszerben nincs megoldás;
Ha a rendszerben van egy végtelen számú megoldást.
Példa. A rendszernek van egy egyedi megoldás a számpár
A rendszernek van egy végtelen számú megoldást. Például, oldatok Ennek a rendszernek van egy pár szám, stb
A rendszernek nincs megoldása, mivel a különbség a két szám nem kaphat két különböző értékeket.
Definíció. másodrendű meghatározó úgynevezett expresszióját formájában:
Jelöljük a meghatározója a D szimbólumot
A számok a11, ..., a22 nevezett elemek meghatározó.
Átlós kialakított elemek A11; A22 jelentése az úgynevezett fő diagonális kialakított elemek a12; a21 - oldalon.
Így a másodrendű különbség azonos a meghatározó eleme a fő termékek és melléktermékek átlók.
Megjegyezzük, hogy válaszul a menetek száma.
Példa. Számítástechnika a meghatározó:
Képzeljünk el egy rendszert két lineáris egyenletek két ismeretlen: ahol x1, x2 ismeretlen; a11. ..., A22 - együtthatók az ismeretlenek, B1, B2 - ingyenes tagok.
Ha a rendszer a két egyenlet két ismeretlennel egyedülálló megoldás, de megtalálható a másodlagos azonosító.
Definíció. Meghatározója az együtthatók az ismeretlenek, az a meghatározó a rendszer: D =.
Az oszlopok a D determináns együtthatók rendre, x1 és x2. Bemutatjuk két további meghatározó, amelyeket nyert meghatározója a rendszer helyett egyik oszlop az oszlop ingyenes tagok: D1 = D2 =.
Tétel 14 (Cramer, az n = 2 esetben). Ha a D determináns rendszer nullától eltérő (D¹0), a rendszer egy egyedi megoldást, ami által:
Ezek a képletek nevezzük képletek Cramer.
Példa. Oldja meg a rendszer a Cramer szabály:
Határozat. Keresse meg a számok
A képletek Kramer és megoldást találni az eredeti rendszer:
Definíció. Meghatározója a harmadik rend kifejeződése a következő formában:
A felvétel plusz tartalmazza: a termék az elemek a fő diagonális, a másik két komponens a termék az elemek található a csúcsai a háromszögek a bázissal párhuzamos a fő átlós. A kifejezések kevesebb alkotják a ugyanazt a mintát képest a másodlagos átlós.
Példa. Számítástechnika a meghatározó:
Képzeljünk el egy rendszert három lineáris egyenletek három ismeretlennel: ahol - ismeretlen; - együtthatók az ismeretlenek - a szabad feltételeket.
Abban az esetben, egy egységes rendszert oldatot 3 lineáris egyenletek három ismeretlennel lehet megoldani a segítségével meghatározóit érdekében 3.
D determináns rendszer formájában:
Bemutatjuk három további meghatározó:
15. Tétel (Cramer, az esetben, ha n = 3). Ha a D determináns rendszer nem nulla, akkor a rendszer egy egyedi megoldást, ami által Cramer:
Példa. Mi megoldjuk a rendszer a Cramer-szabály.
Határozat. Keresse meg a számok
A képletek Kramer és megoldást találni az eredeti rendszer:
Vegye figyelembe, hogy Cramer tétel alkalmazható, ha a szám egyenletek száma megegyezik az ismeretlenek, és amikor a D determináns nem nulla.
Ha a determináns értéke nulla, akkor a rendszer nem lehet semmilyen megoldás sem rendelkezik végtelen számú megoldást. Ezeket az eseteket vizsgáltuk külön-külön.
Megjegyzés egyetlen eset. Ha a rendszer determinánsa nulla (D = 0), és a legalább egy további meghatározó nullától eltérő, a rendszernek nincs megoldások, azaz ez megvalósíthatatlan.
Cramer-tétel általánosítható rendszer n lineáris egyenletrendszer n ismeretlennel: ahol - ismeretlen; - együtthatók az ismeretlenek - a szabad feltételeket.
Ha a meghatározója a rendszer lineáris egyenletek ismeretlenek az egyetlen megoldás a rendszer által adott Cramer:
További meghatározó nyert D determináns, ha ez egy oszlop ismeretlen együtthatók xi helyettesíti az oszlop szabad kifejezések.
Megjegyezzük, hogy a determinánsok D, D1. .... Dn n rend.
Gauss módszer megoldására rendszerek lineáris egyenletek
Az egyik leggyakoribb módszer megoldására rendszerek lineáris algebrai egyenletek az eljárás egymást követő megszüntetése ismeretlenek -módszer Gauss. Ez a módszer általánosítása módszer abból áll, hogy ebben az esetben az egymás utáni megszüntetése ismeretlen maradt, amíg senki egyenlet egy ismeretlen.
A módszer azon alapul, bizonyos átalakulások a lineáris egyenletrendszer, amely így egy olyan rendszer, amely ekvivalens az eredeti rendszer. módszer Az algoritmus két részből áll.
Az első szakasz az úgynevezett közvetlen során Gauss. Fekszik a szekvenciális megszüntetése ismeretlenek a egyenletek. Erre a célra, hogy az első lépésben osztva az első egyenlet (egyébként végzett permutációját egyenletek). Jelöljük az együtthatók kapott fenti egyenlet, azt szorozni egy együtthatóval, és kivonjuk a második egyenletből, kiküszöbölve így a második egyenletet (nullázódás arány).
Hasonlóképpen érkeznek más egyenletek és kapott egy új rendszer, amely az összes egyenletet, mivel a második együtthatók. Ez tartalmazza csak nullát. Nyilvánvaló, hogy a kapott új rendszer lesz egyenértékű az eredeti rendszer.
Ha az új együtthatók. nem minden nulla, mozhnotakim ugyanúgy kizárja a harmadik és az azt követő egyenletek. Folytatva ezt a folyamatot a következő ismeretlen, így a rendszer egy úgynevezett háromszög alakú:
Itt szimbólumok és jelentős változás eredményeként átalakulások numerikus együtthatók és a szabad feltételeket.
Az utolsó egyenletet a rendszer egyértelműen meghatározott. majd szekvenciális helyettesítés - egyéb ismeretlenek.
Megjegyzés. Néha, mint a változások eredményeképpen bármely egyenletek minden együttható és a jobb oldali eltűnik, vagyis az egyenlet válik identitás 0 = 0. Kiküszöbölve egy ilyen egyenlet rendszer, számának csökkentése egyenletek, míg az ismeretlenek száma. Egy ilyen rendszer nem lehet az egyetlen megoldás.
Ha a folyamat alkalmazása a Gauss-elimináció bármely egyenlet válik egyenlő formájában 0 = 1 (a koefficiensek az ismeretlenek fordult 0, míg a jobb oldali hozott nem nulla érték), az eredeti rendszer nem megoldás, mivel az ilyen egyenlőséget hamis bármely értékek ismeretlen.
Képzeljünk el egy rendszert három lineáris egyenletek három ismeretlennel:
ahol - ismeretlen; - együtthatók az ismeretlenek - a szabad feltételeket.
Gauss módszer ennek a problémának a rendszer a következő. Osszuk minden tagja az első egyenletet. majd megszorozzuk a kapott egyenletet vonja ki azt, illetve a második és a harmadik egyenlet (2). Majd a második és a harmadik egyenlet az ismeretlen lesz zárva, és kapsz a fajta rendszer: (3)
Most osztani a második egyenletet rendszer (3), hogy szaporodnak a kapott egyenletet és vonjuk a harmadik egyenlet. Ezután a harmadik egyenlet az ismeretlen lesz távolítva, és a rendszer pedig egy háromszög alakú: (4)
Az utolsó egyenlet (4) találunk. helyettesítés talált
Az érték az első egyenletben, azt látjuk,
Példa. Mi megoldjuk a rendszer a Gauss módszer.
Határozat. Elosztjuk az első egyenletet 2, megkapjuk a megfelelő rendszerrel:
Vonjuk ki a második egyenletből kétszer az első és a harmadik - az első szorozva 5. Készítsen elő:
Kivonás a harmadik egyenlet a második kettős, majd ossza el a második egyenletet -7 (együttható), és a harmadik - 15 (új együttható). A rendszer formáját ölti:
Ezért - egy egyedülálló megoldás.
Példa. Mi megoldjuk a rendszer a Gauss módszer.
Határozat. Rendszer után megszűnik a második és a harmadik egyenlet formájában:
Ha majd vonjuk ki a második egyenletből a harmadik, az utolsó egyenlet azonosság 0 = 0. A rendszer két egyenlet marad:
A megoldás felírható: # 8210; bármennyi
Így a rendszer végtelen sok megoldást.
Válasz. A rendszer végtelen sok megoldást.
Példa. Mi megoldjuk a rendszer a Gauss módszer.
Határozat. E rendszer alkalmazásának Gauss, megkapjuk
Amennyiben az utolsó egyenlet hamis minden érték az ismeretlen, így a rendszer nem megoldás.
Válasz. A rendszernek nincs megoldás.
Megjegyezzük, hogy a módszer Cramer korábban tárgyalt lehet használni megoldásában csak azokat a rendszereket, amelyek száma egyenletek egyenlő az ismeretlenek száma, a meghatározója a rendszernek alkalmasnak kell lennie nullától eltérő. Gauss módszer sokoldalúbb és alkalmas rendszerek tetszőleges számú egyenletek.