Kernel és kép egy lineáris operátor
Kernel és kép egy lineáris operátor.
Let - lineáris operátor vektortér Sok jelezték. Más szóval, a készlet a teljes inverz képe a nulla vektor, amikor megjelenik. Mivel a linearitás ez a halmaz zárt az összeadásra és a skalárral szorzás. Következésképpen, egy altér a tér számos fő Ker.
Meghatározás. A altér vektortér a primer készlet a mag egy lineáris operátor jelöljük nucleus dimenziót az úgynevezett hiba hiba üzemeltető
A beállított jelöli, vagy. Mivel a linearitás ez a halmaz zárt az összeadásra és a skalárral szorzás. Következésképpen, egy altér a tér több elsődleges
Meghatározás. Altér vektortér a fő halmaz, ahogy a lineáris operátor és jelöljük az üzemeltető által a kép mérete az úgynevezett rangot helyezés
Tétel 1.4. Let - lineáris operátor véges dimenziós vektortér. Ekkor (1) összege a rangot és a hiba
Bizonyítás. Első eset: Ha - nulla hely, akkor könnyen belátható, hogy a következtetést a tétel érvényes.
Tegyük fel, hogy - a nem nulla térben. Hagyja, hogy a - alapján a teret. Ezután a rendszer generál vektorok tér
Ez a rendszer lineárisan független vektorok. Valóban, ha
tekintettel a linearitást az üzemeltető
Mivel tehát az következik, hogy
és mivel a lineáris függetlenség vektorok
Így a rendszer alapját fokozatú, és ezért egyenlő. Ezenkívül a hiba nulla. Következésképpen, van egy nyilatkozat (1).
Második eset :. Let hiba - a alapján az alapja a kernel. Ha nyilvánvaló, hogy az állítás (1) teljesül. Tegyük fel, hogy. A hely lehet terjeszteni az alapeset rendszert. Let - egy idő alapján
t. e. vektorrendszeren teret teremt
Ez a rendszer lineárisan független. Valóban, ha
majd a linearitást az üzemeltető
Mivel - a alapján tény, hogy vannak skalárokkal
Azáltal lineáris függetlenség vektorok, ebből következik, hogy minden együttható nulla a bal oldalon az egyenlet, és különösen. Így a rendszer egy alap vektorok a tér, és a rang. Következésképpen az állítás igaz (1).