Gauss - studopediya
Az egyik legegyszerűbb módja, hogy megoldja a lineáris egyenletrendszer egy technika alapján a számítás a meghatározó (Cramer szabály). Előnye, hogy ez lehetővé teszi, hogy azonnal elvégzi a döntés eredménye, akkor különösen hasznos, ha az együtthatók nem számok, hanem néhány paraméter. A hátránya - nehézkes számítások esetén nagyszámú egyenletek mellett Cramer szabály nem alkalmazható közvetlenül olyan rendszerek, amelyekben számú egyenlet nem esik egybe az ismeretlenek száma. Ilyen esetekben általában alkalmazni Gauss.
Lineáris egyenletrendszert, hogy ugyanaz a megoldás halmaz nevezzük egyenértékű. Nyilvánvaló, hogy a sor megoldást egy lineáris rendszer nem változik, ha egyenletek felcseréljük, vagy többszörösen egy egyenlet bármely nem nulla szám, vagy ha hozzá egy egyenletet a másikra.
Gauss módszer (szekvenciális megszüntetése ismeretlen módszer) az, hogy segítségével elemi transzformációk a rendszer csökken egyenértékű rendszer lépett formában. Először használja az 1. egyenlet x1 van zárva minden jövőbeli egyenletrendszert. Ezután pomoschyu2 th egyenlet x2 eliminációja a harmadik és minden további egyenletek. Ez a folyamat, az úgynevezett közvetlen természetesen Gauss. Ez addig tart, amíg a bal oldali az egyenlet lesz egyetlen ismeretlen xn. Ezt követően, a fordított Gauss --egyenlet, azt találjuk, xn; akkor használja ezt az értéket az utolsó előtti egyenlet számítási xn-1, stb Az utóbbi x1 az első egyenletből.
Gauss transzformációt hajtjuk végre, elvégzése a konverzió nem a egyenletek és mátrixok azok együtthatók. Tekintsük a mátrix:
az úgynevezett kiegészített mátrix a rendszer, mert ez, kivéve az alap-mátrixon a rendszer, benne oszlopon szabad kifejezések. Gauss módszer azon alapul csökkentésére a primer mátrix a rendszer, hogy háromszög alakban (vagy trapéz, ha nem négyzetes középérték rendszerek) felhasználásával elemi transzformációk húrok (!) Kiterjesztett mátrixban.
Példa 5.1. Oldja meg a rendszer Gauss-módszer:
Határozat. Mi írja le a kiegészített mátrix rendszer, és az első sorban, majd visszaállítja a többi elem:
Kapjuk nullák a 2., 3. és 4. sorban az első oszlop:
Most az szükséges, hogy az összes elemet a második oszlop alatti 2. sorban nulla. Ehhez szorozza meg a második sorban -4/7 és hozzá a harmadik sorban. Annak érdekében azonban, hogy nem kell foglalkozni a frakciók, akkor létrehozunk egy, a 2. sorban a második oszlop, és csak
Most, hogy egy háromszög mátrix, meg kell állítani az elem a negyedik sorban a harmadik oszlop, ez tud szaporodni a harmadik sorban 8/54 és add meg a negyedik. Annak érdekében azonban, hogy nem kell foglalkozni a frakciók felcserélhető a 3. és a 4. sorban, és a 3. és a 4. oszlopban, és csak azután, hogy a fog egy meghatározott nullázás elemet. Megjegyezzük, hogy a változó helyeken, a megfelelő változó, és ezt kell szem előtt tartani permutációja oszlopok; egyéb elemi transzformációk oszlopok (összeadás és szorzás számmal) nem lehet!
Utolsó egyszerűsített mátrix megegyezik az egyenletrendszert egyenértékű az eredeti:
Ennélfogva ha a fordítottja a Gauss módszer, azt találjuk, x3 = -1 a negyedik egyenlet; A harmadik x4 = -2, a második x2 = 2, és az első egyenletben x1 = 1 válasz mátrix formában felírható
Megvizsgáltuk az esetben, ha a rendszer határozza meg, azaz a ha csak egy megoldás van. Lássuk, mi történik, ha a rendszer nem felel meg, vagy bizonytalan.
Példa 5.2. Vizsgáljuk meg a rendszer Gauss módszer:
Határozat. Írunk, és átalakítja a kiegészített mátrix rendszer
Írja egyszerűsített egyenletrendszert:
Itt az utolsó egyenlet kiderült, hogy 0 = 4, azaz ellentmondás. Következésképpen a rendszernek nincs megoldása, azaz a ez ellentmondásos. à
Példa 5.3. Fedezze fel, és oldja meg a rendszer a Gauss módszer:
Határozat. Írunk, és átalakítja a kiegészített mátrix rendszer:
Ennek eredményeként a reformok néhány nullát bejutni az utolsó sor. Ez azt jelenti, hogy a szám a egyenletek eggyel csökken:
Így két egyenlet bal után egyszerűsítések és négy ismeretlennel, azaz két ismeretlen „extra”. Hagyja, hogy a „felesleges”, vagy ahogy mondani szokás, szabad változók. lesz X3 és X4. majd
Így rögzített hívják az általános megoldást. mivel így a paraméterek a és b különböző értékeket, akkor lehetséges, hogy leírja az összes lehetséges megoldást a rendszer. à