Alapfogalmak elemi valószínűségszámítás
1.2. Alapfogalmak elemi valószínűségszámítás
A téma az elmélet a valószínűség. Statisztikai stabilitását.
Valószínűségszámítás törvényszerűségeit kutató felmerülő véletlen kísérletekben (jelenségek). Véletlen kísérlet nevezik, ami lehetetlen megjósolni a kimenetelét előre. Az képtelenség előre megjósolni, # 151; A legfontosabb dolog, ami megkülönbözteti véletlenszerű jelenség determinisztikus.
Nem minden véletlen események (kísérlet) lehet tanulmányozni módszerekkel valószínűségszámítás, de csak azok, amelyek lehet reprodukálni azonos körülmények között, és (világos, mint ellenőrizhető előre :-)) tulajdona „statisztikai stabilitás”: ha # 151; Néhány esemény, amely lehet, hogy nem fordulhat elő, ha a kísérlet, az aránya a kísérletek száma, amelyben az esemény bekövetkezett, hajlamos arra, hogy stabilizálják a növekvő teljes számos kísérleti közeledik egy meghatározott számot. Ez a szám az objektív ismérve „foka lehetőséget” esemény fordul elő.
A jövőben minden véletlen kísérletek, amelyek közül beszélünk lesz tulajdonát statisztikai stabilitást, amit a végén bizonyítani azt az állítást, más néven a nagy számok törvénye Bernoulli.
elemi esemény térben. manipulálni események
Tér elemi események ( „omega”) egy sor tartalmazza az összes lehetséges kimenetelt a véletlen kísérlet, a kísérletben, amelynek pontosan egy. Ennek elemei halmaz nevezzük elemi események és betűvel jelöljük ( „omega”) vagy anélkül indexek.
Események fogják hívni alcsoportok. Azt mondják, hogy ennek eredményeként a kísérlet nem volt olyan esemény, ha volt egy kísérlet elemi eredmények készletbe foglalva.
Általánosságban elmondható, hogy lehetséges, hogy nevét a rendezvény nem feltétlenül az összes részhalmaza, és több részhalmazainak halmaza. Az értelme ennek a korlátozás később beszélünk.
Miután dobott egy hal (kocka). A legésszerűbb módja, hogy hozzanak a tér elemi események a következők: elemi eredmények itt számát jelenti esett pont.
Azokra az eseményekre: # 151; leesett egy vagy két pontot; # 151; Úgy esett, hogy páratlan számú pontot.
Kétszer lökött egy kocka (kocka). Vagy ami ugyanaz a dolog, ha dobott a két kockával. Mint később látni fogjuk, a legésszerűbb módja annak, hogy állítsa be a teret az elemi események # 151; tekinthető az eredménye egy kísérlet rendezett számpár, amelyben a () a pontok számát, hogy esett az első (második) dobás:
# 151; Az első dobás esett egy pontot;
# 151; két dobás csökkent az azonos pontszámmal.
Az asztal felülete dobni egy érmét. koordinátája Az érme közepén lehet tekinteni az eredménye kísérlet (és ha nem törődnek a forgatás szögét az érme, akkor lehetséges, hogy adjunk a szög értéke). A tér elemi eredmények # 151; multipoint szakasz (az utóbbi esetben # 151; több pár, ahol a # 151; asztal és pont # 151; forgási szög). Számú elemi eredményeinek ilyen kísérlet megszámlálható.
Az érme feldobunk amíg amíg esik ki jelképe. Eredmény tér áll egy végtelen, de megszámlálható száma eredmények: ahol p és r értéke veszteség és farkukat egy embléma dobált, ill.
1.Dostovernym úgynevezett esemény, ami szükségszerűen bekövetkezik a kísérlet eredményét, hogy az egyetlen olyan esemény, amely magában foglalja minden egyes elemi eredmények # 151; eseményt. 2.Nevozmozhnym nevezett esemény, amely előfordulhat a kísérlet eredményét, azaz az esemény, nem tartalmaz elemi eredmény ( „üres”), amelyet. Figyeljük meg, hogy mindig.
enged # 151; eseményeket. 1.Obedineniem események és az úgynevezett esemény, amikor az a tény, hogy nem volt semmilyen, az egyik vagy mindkét esemény egy időben. A nyelv a halmazelmélet egy sor, amely mind az elemi eredmények foglalt, és az elemi tartozó események. 2.Peresecheniem események és az úgynevezett esemény, amikor az a tény, hogy mindkét esemény egyszerre. Ez azt jelenti, van egy sor, amely az alapvető eredményeket, amelyek tagjai és. 3.Dopolneniem események az esemény előtt hívják, ami abból áll, hogy egy esemény történt, de ez nem történt meg. Ez azt jelenti, van egy sor, amely elemi eredményeit tartalmazza, de nem része a. 4.Protivopolozhnym (vagy komplementer), esemény felhívásra olyan esemény, amely az a tény, hogy az esemény, melynek eredményeként a kísérlet nem történt meg. Más szóval, van egy sor, amely az alapvető eredményeket, amelyek nem szerepelnek az.
Definíció 5.
1. Események nevezzük összeférhetetlen. if. 2. Az eseményeket nevezzük kölcsönösen összeegyeztethetetlen. ha van ilyen, és eseményeket és következetlen. 3. Azt mondják, hogy az esemény vonzza egy eseményt, és írni, ha valaha, amint olyan esemény következik be, és az esemény. A nyelv a halmazelmélet, ez azt jelenti, hogy olyan elemi eredményt, benne van az időben belép az eseményt.
Annak a valószínűsége egy diszkrét tér elemi eredmények
Tegyük fel, hogy van dolgunk egy diszkrét térben elemi események, vagyis a tér, amely egy véges vagy megszámlálható elemek száma:
Tedd egyes elemi eredmény összhangban számot, hogy
Azt értjük számú elemi valószínűség kimenetelét. Valószínűsége, hogy az esemény a szám
összegével egyenlő annak a valószínűségét elemi események készletbe foglalva.
Később, miután megismerik az axiómák valószínűségszámítás, mi határozza meg a valószínűsége maga az esemény, inkább, mint a valószínűség elemi események. Sőt, hogy ha egy esemény valószínűsége nyerhető elemi valószínűségek eredményeinek, amely nem több, mint egy megszámlálható számú elemi események (egyébként a koncepció összegzés önmagában nem meghatározott). De a diszkrét térben elemi eredmények valószínűségének meghatározására az események oly módon történik a meghatározása 6. mindig lehetséges.
Sorolja nyilvánvaló abban az esetben egy diszkrét tér elemi események tulajdonságok valószínűsége. hamarosan bizonyítani jobb általában.
5, ha és következetlen;
6. általános esetben;
Annak bizonyítására, a fenti tulajdonságokkal, használja a meghatározása 6.
Mint látható, a valószínűsége egy absztrakt függvény, amely kielégíti számos szigorú követelményeknek is lehet nevezni. Ugyanakkor szükség van a „megfelelő elmélet, gyakorlat” is kell gondolni.
A klasszikus meghatározás valószínűség
Tegyük fel, hogy van dolgunk a tér elemi esemény, amely véges számú elemből áll:
Továbbá tegyük fel, hogy bármilyen megfontolások figyelembe vesszük elemi egyaránt lehetséges következményeket. Akkor annak a valószínűsége sem őket egyenlőnek kell lennie.
Ezek a megfontolások gyakran semmi köze a matematikai modell alapján, valamint néhány szimmetria a kísérletben (szimmetrikus érme, jól keverjük össze pakli kártya, a megfelelő csont). Vagy tudjuk előre megfontolt egyaránt lehetséges kimenetelét a kísérletet, de akkor előbb-utóbb lesz még egy kérdésem egy matematikai modell szerint a valódi kísérlet.
Ha az esemény alkotja az elemi események, a valószínűsége ennek az eseménynek az aránya:
ahol a szimbólum jelöli a számát elemeinek véges.
Azt mondják, hogy a kísérlet megfelel a fogalom klasszikus valószínűség (vagy klasszikus valószínűségi rendszer), ha a tér áll elemi események véges számú egyformán lehetséges következményeket.
Ebben az esetben, a valószínűsége, mindenképpen számítják az alábbi képlet szerint
az úgynevezett klasszikus definíciója valószínűsége. Ez a képlet így szól: „valószínűsége egy esemény az aránya a kimenetelek kedvező az esemény, az összes eredményeket.”
Érdemes megjegyezni a klasszikus megfogalmazása Yakoba Bernulli (Jacob Bernoulli).
„A valószínűség mértékű megbízhatósággal és eltér részeként az egész”
( «Ars Conjectandi». 1713)
Most látni, hogy a számítás a valószínűség a klasszikus rendszerben csökken megszámoljuk a „esélye” (elemi események) elősegíti egy eseményt, és az összes esélyét. Jellemzően ez történt a segítségével a kombinatorika képleteket.
Vegyük le 1.1.2 urna rendszer. Emlékezzünk vissza, hogy beszélünk eltávolítja a golyók egy urna tartalmazó golyókat. Ebben az esetben a három rendszert: a visszatérés, és tekintettel a sorrendben, anélkül, hogy figyelembe véve a visszatérés és a rend, valamint a csere nélkül és anélkül, hogy annak érdekében, megfeleljen a fogalom klasszikus valószínűség. A teljes száma az elemi események ezek a rendszerek a becslések tételekbeli 3. és 4. 2. egyenlő, ill ,.
Negyedik ugyanazt a rendszert # 151; kiválasztásával visszatérő ág és kizárja annak érdekében, # 151; Ez nyilvánvalóan neravnovozmozhnye eredményeket.
Vegyük például, a választás a két golyó, két vagy ezzel egyenértékű, feldobunk egy érmét kétszer. Mivel a rend, akkor az eredmény viszont 4, és ezek mind egyformán lehetséges, hogy van, van egy valószínűsége 1/4:
(Embléma, kabát), (farok, farok), (farok, kabát), (Crest farok).
Ha a sorrend nem veszi figyelembe, szükséges, hogy be az eredmény a legutóbbi két, az eredmény ugyanaz a kísérlet, és kap három eredmény négy helyett: esett
két címerek. vagy két farok. vagy egy réteg és egy farok.
Ebben az esetben az első két kimenetele van valószínűsége 1/4, és az utolsó # 151; valószínűsége 1/4 + 1/4 = 1/2.
Count számú elemi események a 2. példa (a feldobás két kocka). Hogyan lesz a tér elemi események, ha a sorrend nem veszi figyelembe a csont? Count számú elemi események ilyen térben (5. tétel, vagy közvetlen számítási). Biztosítani kell, hogy vannak pontosan. hogy ezek az eredmények egyformán valószínű? Számoljuk ki a valószínűsége az egyes kimenetelét.
hipergeometrikus eloszlás
Feladat. Egy urna, amelyben a fehér és fekete golyó véletlenszerűen, visszatevés nélkül vesszük ki golyót. A „véletlen” azt jelenti, hogy az előfordulása olyan készlet golyókat egyenlően valószínű. Annak a valószínűsége, hogy pontosan fogják kiválasztani a fehér és fekete golyó.
Határozat. Megjegyezzük, hogy a megkívánt valószínűséggel eléri vagy 0 eseményként lehetetlen. Let.
A kísérlet eredményét egy sor golyót. Ebben az esetben nem lehet figyelmen kívül hagyni, vagy figyelembe veszi a sorrendben a golyókat.
1. megválasztása nincs regisztráció érdekében. A teljes száma az elemi események száma -element halmaz részhalmazainak elemekből álló, azaz (a 3. Tétel).
Jelöljük az esemény, a valószínűsége, hogy meg akarja találni. Ez kedvez az előfordulása mindenképpen sor, amely a fehér és fekete golyó. A sikerek száma egyenlő a terméket (a tétel 1) a számos módon, hogy válasszon egy fehér golyó és a számos módon, hogy válasszon a fekete golyó a :. esemény valószínűsége
2. alapuló választás érdekében. A teljes száma az elemi események száma módon helyezze az elemeket a területén (2. tétel).
Kiszámításakor kedvező esetek száma is meg kell vizsgálni, hányféleképpen lehet választani a megfelelő számú golyó, és a számos módon rendezni ezeket a golyókat között. Akkor például, számolja meg a módját választja helyek között (azonos), akkor az számos módon elhelyezni ezeken a helyeken fehér golyó (egyenlő # 151; ne feledkezzünk tartása érdekében!), majd a számos módon helyezze a fennmaradó területeken a fekete golyó (azonos). Szorzás (miért?) Ezeket a számokat, megkapjuk
A probléma tekinteni, összehasonlítottuk mindegyik a fehér és a fekete golyó a valószínűsége, hogy ez meg, amikor kiválasztják golyó egy urna, amely a fehér és fekete golyó:
Compliance, vagy a következő sor valószínűségek
Ez az úgynevezett hipergeometriai forgalmazás.