A bomlás polinomok a kiküszöbölhetetlen tényezők - studopediya
Algebra alaptétele.
Bármely nem const polinom egész komplex számok legalább egy gyökér.
Következmény 1. Bármely nem const polinom egész komplex számok beépülhetnek a termék lineáris tényező:
Itt - a vezető tényező - a különböző komplex gyökerei a polinom - sokfélesége. az egyenlőség
Ennek bizonyítéka vizsgálat végezhető szerinti indukcióval polinom foka. Egy lineáris többtagú triviális. Hagyja, hogy a következménye igaz polinomokként kisebb és adott egy polinom foka szerint az algebra alaptétele a komplex számok, polinomok egy gyökér. A tétel az Bezout, különbség oszt. azaz A polinom foka, és ez esetben az indukciós feltevés. Bővülő és lineáris tényező, amit ezzel elbontására polinom a lineáris tényezőt. Miután meg kell gyűjteni egy bizonyos fokú lineáris tényező azonos gyökerek?
2. Következmény Bármely nem const polinom több mint valós számok beépülhetnek a termék lineáris tényezők és szögletes trinomials negatív diszkrimináns:
Itt - a különböző valós gyöke a polinom. - multiplicitás, minden diszkrimináns nullánál kisebb, és a másodfokú polinom mind különböző.
Proof of Következmény 2 alapul lemma
Lemma. Let - komplex gyökerek polinom valós együtthatók. Ezután a konjugátum is egy gyökér.
Bizonyítás. Let. Azzal a feltétellel. majd
Itt már használják az egyenlőség és a homomorf felület.
Proof of Következmény 2 tartsa is indukciós bizonyítékaként Következmény 1. Az alapja az indukciós egyértelmű, igazolja az indukciós lépést. Let - komplex gyökerek polinom. Ha. a célba, valamint a bizonyítéka Következmény 1. Legyen. azaz . Majd Bezout tétele, a polinom felírható
Jelöljük. azaz . mert
majd - a valós számokat. Aztán - egy polinom valós együtthatók, amely alkalmazható az indukciós feltevés.
A bizonyítás befejeződött.
Példák. A. felbontjuk a polinom irreducibilis a tényezők. Között alcsoportok állandó tagja 6 keresi a gyökerei a polinom. Látjuk, hogy az 1-es és 2 - a gyökerek. Így a polinom osztható. Elosztjuk találunk
- utolsó bontási a mező fölé. Mert másodfokú polinom diszkrimináns negatív, ezért a mező fölé a valós számok nem bomlik tovább. A bomlás polinom több mint komplex számokat látjuk, ha találunk összetett gyökereit másodfokú polinom. Vannak. majd
- bővítése a polinom felett
B. bővítjük a földeken át a valós és komplex számok. Mivel a valódi gyökerei a polinom nem, akkor bontjuk két szögletes trinomiális negatív diszkrimináló
Mivel cseréje polinom nem változik, ez a helyettesítés másodfokú trinomiális kell mozgatni, és fordítva. Ezért. Egyenlővé együtthatók kapjunk, különösen. Akkor a (kapjuk, hogy a kivonatot. És végül. Tehát
- bővítése terén a valós számok.
Annak érdekében, hogy elbontsuk az aktív polinom több mint komplex számok, megoldjuk az egyenletet általános képlet szerinti (3) p. 4. Itt. ezért
- bomlása komplex számok. Könnyen kiszámítható
és van egy másik probléma megoldása polinom bővítése terén a valós számok.