Magasabb matematika - online dokumentáció

Adjuk meg az U = f (x, y, z) skaláris mezőt. Az M (x, y, z) pontban az U = f (x, y, z) skaláris mező gradiense a vektor

Ha az U = f (x, y, z) függvény U'x részleges származékokkal rendelkezik. U'y. U'z egy adott régió egyes pontjaiban, akkor a skaláris mező ebben a régióban generál egy vektor mezőt. Az irányszármazék számításának képletét transzformáljuk:

A vektorok közötti szög és φ jelöléssel. akkor a skalár termék egyenlő.
Ezért: vagyis a vektor irányában az M pontban levő skálafüggvény U = f (x, y, z) deriváltja megegyezik a vektor irányának vetületeivel

Képlet (3,27), hogy amikor az irányt a vektor egybeesik az irányt a vektor, az irányított származéknak a legnagyobb értéke, azaz. E. A vektor számolva ponton M. mutatja a skaláris mező legnagyobb növekedésének irányát és növekedési ütemét

Az irányra merőleges irányban, a (3.27) képlet szerint, azaz ebben a irányban a mező nem változik az M. ponttól.

Emlékezzünk, hogy ha a felület adott uravneniemF (x, y, z) = 0, a felületre merőleges ponton M0 (x0, y0, z0) lehet a következő egyenlet adja:

Most az U = f (x, y, z) skalárfüggvényhez f (x, y, z) = C szintfelületeket állítunk elő. akkor az M0 (x0, y0, z0) pontnál a normál szint egyenlete a szintfelszínre:

azaz van egy irányító vektor

Ezért a vektor az U = f (x, y, z) függvény szintfelülete felé merőleges vektor.