Poisson-eloszlás és Poisson-képlet
Ebben a cikkben egy további diszkrét eloszlást tartunk számon. amelyet széles körben használnak a gyakorlatban. Nem volt időm arra, hogy megnyitok egy tanfolyamot a valószínűségelméletről. amint azonnal megkapta a kéréseket: "Hol van Poisson? Hol vannak a Poisson-képlet problémái? ", Etc. Így a Poisson-eloszlás egy bizonyos alkalmazásával kezdem, tekintettel az anyag nagy igényére.
Az eufória fájdalmára vonatkozó feladat ismerős:
- független teszteket végzett. amelyek mindegyikében véletlen esemény valószínűleg megjelenhet. Meg kell találni azt a valószínűséget, hogy ebben a tesztsorozatban az esemény pontosan egyszer fog megjelenni.
Abban az esetben, ha a tesztek száma magas (több száz és ezer). ezt a valószínűséget általában a helyi Laplace-tétel segítségével számítják ki. , hol.
Azonban még itt is van egy "gyenge kapcsolat" - a Laplace-tétel komolyan felhúzza (nagy hibát ad), ha a valószínűsége kisebb, mint 0,1 (és annál kisebb, annál rosszabb lesz). Ezért itt egy másik módszert alkalmazunk, és pontosan a Poisson-eloszlás.
Tehát, ha a vizsgálatok száma elég nagy, és a valószínűségét egy esemény egyetlen vizsgálat, meglehetősen kicsi (0,05-0,1 vagy kevesebb), akkor annak a valószínűsége, hogy ebben a kísérletsorozatban az esemény pontosan úgy jelenik meg egyszerre, közelítőleg kiszámítható a következő képlet szerint Poisson :
, ahol
Emlékszem, hogy a nulla tényező, és így a képletnek van értelme.
A "lambda" helyett az "a" betűt is használjuk.
Az új szomszédságban 10 000 kódzárat helyeznek el a házak bejárati ajtóira. Az egy zár meghibásodásának valószínűsége a hónap folyamán 0,0002. Keresse meg azt a valószínűséget, hogy egy hónap pontosan 1 zárat tagad.
Utópikus, természetesen a feladat, de mit tegyünk - döntünk :)
Ebben az esetben a "tesztek" száma nagy, és a "siker" valószínűsége mindegyikben kicsi: ezért a Poisson-képletet használjuk:
Számolunk:
- Lényegében ez az átlagos várható kiesett zárak száma.
Így:
- annak a valószínűsége, hogy egy hónap alatt egyetlen zár (10 ezerből) meghibásodik.
Technikai szempontból ez az eredmény többféle módon is elérhető, történelmi szempontból elmondom róluk:
1) Egy speciális asztal használata, amely még mindig sok könyvben található a Tver-en. Ez a táblázat összefoglalja a különböző értékeket és a megfelelő valószínűségeket. A táblázás annak a ténynek köszönhető, hogy egyszerre nem volt számológép az exponenciális függvény értékeinek kiszámításához. Innen, hagyja, hogy a számításokat 4 tizedesjegyig kerekítse fel - mint a standard táblázatban.
2) Közvetlen számítás a számológépen (haladás!).
3) A standard Exile funkció használata:
= Poisson (m; lambda; 0)
ebben a feladatban az Excel = Poisson (1; 2; 0) bármelyik cellájába vezetünk és nyomjuk meg az Enter billentyűt.
Meg kell jegyezni, hogy a számítógépes technológia fejlődése ténylegesen elküldte a történelemnek a Laplace módszereit. és a szóban forgó módszer azért is az oka, hogy Bernoulli képletével könnyebben kiszámítható a válasz pontosabban:
Itt használtam a BINOMDIST funkciót. amiről már többször említette.
De a Poisson-formula ugyanakkor nagyon meredek közelítést biztosít:
- csak 9 tizedesjegy pontossággal!
Mindazonáltal ez az összes dalszöveg, még mindig szükség van Poisson képletének meghatározására:
Az üzem 500 terméket küldött az értékesítési hálózatba. A termék szállítás közben történő károsodásának valószínűsége 0,003. Keresse meg annak valószínűségét, hogy szállítás közben károsodik: a) nincsenek tételek, b) pontosan három termék, c) több mint három tétel.
A megoldás. a Poisson képletet használjuk:
Ebben az esetben:
- a károsodott termékek várható átlagos száma
a)
- annak valószínűsége, hogy az összes termék érintetlenül és épségben marad. Semmi sem fog ellopni, egy szóval :)
b)
- annak valószínűsége, hogy 500-ból pontosan 3 tétel megsérül az átutazáskor.
c)
És itt minden egy kicsit trükkös. Először is azt találjuk - a valószínűség, hogy nem több, mint három termék károsítja az utat. A hozzáadás tételével az összeférhetetlen események valószínűségére:
Magától értetődik, hogy unalmas számolni a fogantyúkat, ezért hozzáadtam a Poisson-eloszlás automatikus felépítését az elrendezésmintámhoz (lásd 7. pont) - használd az egészségre.
A hibás alkatrészek gyártásának valószínűsége a tömegtermelésben. Határozza meg azt a valószínűséget, hogy egy 800 részből álló tétel: a) pontosan 2 hibás, b) legfeljebb kettő.
A megoldás és a válasz a lecke végén.
Néha a feltétel egy kissé eltérő értelmezésben következik be. Tehát a javasolt probléma lehet az, hogy a termelési házasság 0,1%, vagy például "átlagosan 0,8 rész / ezer". Felhívjuk a figyelmet arra, hogy az utóbbi esetben kapjuk a "lambda" kész értelmét.
E tekintetben mindenképpen ne kapcsolja le a fejét - még ilyen egyszerű példákban is!
És most a Poisson nagyon eloszlásáról. Az e törvény szerint elosztott véletlenszerű változó végtelen és számítható értékszámot vesz fel, amelynek előfordulási valószínűségét a következő képlet határozza meg:
Vagy, ha részletesen festesz:
Elméletileg megállapítható, hogy egy Poisson-véletlen változó matematikai várakozása egyenlő, és a variancia azonos értékű:.
Vegyük észre, hogy a fentiekben felsorolt feladatoknál a valószínűségek közelítő számításánál csak a Poisson-eloszlást használtuk, míg az EXACT értékeket a Bernoulli-képlet alapján találtuk meg. azaz létezett binomiális eloszlás.
A következő két feladat alapvetően különbözik a korábbiaktól:
A véletlen változó a Poisson matematikai elvárásainak megfelelő törvény. Meg kell találni azt a valószínűséget, hogy egy adott véletlen változó kisebb értéket vesz fel, mint annak matematikai várakozása.
A különbség az, hogy itt a Poisson-eloszlásról beszélünk.
A megoldás. a véletlen változó értékeit valószínűsíti:
Az állapot, és itt minden egyszerű: az esemény három inkompatibilis eredményből áll:
annak valószínűsége, hogy egy véletlen változó kevesebb értéket vesz fel, mint annak matematikai várakozása.
Hasonló feladat a megértéshez:
A véletlen változó a Poisson matematikai elvárásainak megfelelő törvény. Meg kell találni azt a valószínűséget, hogy egy adott véletlen változó pozitív értéket fog elérni.
A megoldás és a válasz a lecke végén.
A binomiális eloszlás közelítésén kívül (1-3. Példák) a Poisson-eloszlás széles körben alkalmazza a sorbanálláselméletet a legegyszerűbb eseményfolyamat valószínűségére jellemzően. Megpróbálok lakonikusnak lenni:
Tehát hagyja, hogy az alkalmazások egyszerű áramlása percenként (óránkénti, napi vagy tetszőleges időintervallumban) átlagos alkalmazási sebességgel lépjen be valamilyen rendszerbe. Aztán a valószínűsége, hogy egy adott idő alatt. a rendszer pontosan megkapja az alkalmazásokat:
A taxi diszpécsernek hívása egyszerű Poisson áramlás, átlagosan 30 hívás óránként. Keresse meg azt a valószínűséget, hogy: a) 1 percig. 2-3 hívás lesz, b) öt percen belül legalább egy hívás lesz.
A megoldás. a Poisson képletet használjuk:
a) Figyelembe véve az áramlás állékonyságát, számítsa ki az átlagos percenkénti hívások számát:
hívás - átlagosan egy perc.
A hozzáadás tételével az összeférhetetlen események valószínűségére:
- annak valószínűsége, hogy 1 perccel 2-3 hívás érkezik a vezérlő helyiségbe.
b) Számítsa ki a hívások átlagos számát öt perc alatt:
Poisson képlet szerint:
- annak valószínűsége, hogy 5 percen belül nem lesz egyetlen hívás.
A hozzáadás tételével az ellentétes események valószínűségeire:
- annak valószínűsége, hogy legalább egy hívás 5 percen belül megtörténik.
Megjegyezzük, hogy a lehetséges hívások véges számának (és elvben véges) ellenére itt a Poisson-eloszlás, és nem más.
Egy független megoldáshoz:
Az egy órán belül vámkezelés alatt álló autók átlagos száma 3. Keresse meg azt a valószínűséget, hogy: a) 2 órát 7-től 10-ig terjedő személygépkocsival kell ellenőrizni; b) csak fél óra alatt csak egy autó lesz átvizsgálva.
A megoldás és a válasz a lecke végén.
Valószínűleg sokan tudják, hogy a tömegkommunikáció elmélete az alkalmazott matematika hatalmas és nagyon érdekes szakasza, és most már ismerjük a legegyszerűbb feladatot.
További példák a disztribúcióra és a Poisson-képletre a tematikus pdf-könyvben találhatók. és javaslom, hogy ismerkedjen meg egy másik népszerű dologgal - a Hypergeometric Probability Distribution.
Kellemes és hasznos olvasmány!
Megoldások és válaszok:
3. példa Megoldás: használja a Poisson képletet:
, ebben az esetben:
a) annak valószínűsége, hogy ebben a sorozatban pontosan 2 hibás rész lesz.
b) Inkompatibilis események valószínűségének hozzáadásával:
- annak valószínűsége, hogy egy adott tételben legfeljebb 2 hibás tétel jelenhet meg.
5. példa Megoldás. a véletlen változó értékeit valószínűsíti. Feltételezéssel,.
Nézzük meg azt a valószínűséget, hogy a véletlen változó a nulla értéket veszi fel:
A hozzáadás tételével az ellentétes események valószínűségeire:
- annak a valószínűsége, hogy egy véletlen változó pozitív értéket fog kapni
7. példa Oldat. feltételezve, hogy az áramlás egyszerű, a Poisson-képletet használjuk:
a) Számítsa ki - a vámkezelés alatt álló autók átlagos számát 2 órán belül.
A hozzáadás tételével az összeférhetetlen események valószínűségére:
- annak valószínűsége, hogy a vizsgálat 2 óra alatt 7-10 gépkocsiba kerül
b) Számítsa ki - az ellenőrzött autók átlagos számát, 1/2 órát.
Poisson képlet szerint:
- annak valószínűsége, hogy egy fél órás vámkezelés csak egy autó lesz.
(Ugrás a főoldalra)
Minőségi munka plagizálás nélkül - Zaochnik.com