A valószínűségi elmélet legfontosabb kategóriái
Az elmélet alapfogalmai
- valószínűség
- A valószínűségi hely
- Véletlen változó
- A helyi Moivre-Laplace tétel
- Elosztási funkció
- Matematikai elvárás
- Egy véletlen változó diszperziója
- függetlenség
- A feltételes valószínűség
- A nagy számok törvénye
- A központi határérték tétel
Az elmélet fő tételei ........................... .. ........................ 3
A valószínűség elmélete a XVII. Század közepén keletkezett. a nyertes szerencsejátékosok esélyeinek kiszámításával kapcsolatos feladatokkal kapcsolatban. Szenvedélyes játékos a francia csontjaiban de Mere, megpróbálva gazdagodni, új játékszabályokkal. Ajánlott négyszer egymás után dobni egy csontot és fogadni, hogy egyidejűleg hat (6 pont) esik legalább egyszer. A győzelem iránti nagyobb bizalomért de Mere fordult barátjához, a francia Pascal matematikushoz, és arra kérte őt, hogy számítsa ki a játék nyerésének valószínűségét. Adunk Pascal érvelését. A kocka rendszeres kocka, hat, 1, 2, 3, 4, 5 és 6 számmal (a pontok száma). Ha a csontot "véletlenszerűen" dobja ki, bármely pont vesztesége véletlen esemény; ez attól függ, sok íratlan hatásai: a kiinduló helyzetbe, és a kezdeti sebesség különböző csont-nak, a légmozgás az útjába, vagy a érdesség a helyszínen az őszi előforduló hatása a felszínen a rugalmas erő, stb Mivel ezek a hatások kaotikus, .. ezután, a szimmetria nincs ok arra, hogy előnyben részesítik a veszteség pontot, mielőtt a másik (kivéve persze, szabálytalanságok a csontban, vagy valamilyen rendkívüli ügyességgel dobó).
Ezért hat egymást kizáró ugyanúgy lehetséges az esetekben, amikor dobott kocka, és annak a valószínűsége, hogy egy adott számú pontot kell tenni egyenlő 1/6 (vagy 100/6% -kal). Ha dupla dobás dobókocka dobás nyeremény - veszteség bizonyos számú pontot - nem lesz hatással az eredmény a második öntött ezért egyformán lehetséges esetben lesz 6 · 6 = 36, ebből 36 db, 11, egyformán hat esetben jelenik meg, legalább egyszer, és 5 · 5 = 25 esetben a hat nem esik ki egyszer.
Annak az esélye, hogy kialakult hat legalább egyszer meg fog egyezni a 11-ből 36, más szóval, a valószínűsége, hogy A esemény, ami abból áll, hogy lesz legalább egyszer hat, ravna11 / 100 dupla dobás dobókocka. t. e. az esetek száma megegyezik az arány elősegíti az esemény több, egyformán minden esetben. Annak a valószínűsége, hogy a hat vagy egyszer jelenik meg, azaz a. E. A valószínűsége az esemény, az úgynevezett ellenkező esetben A, ravna25 / 36. Amikor tripla dobás dobókocka száma egyformán minden esetben 36 · 6 = 63, 63 a négyszeres · 6 = 64. A hármas dobás dobókocka azon esetek számát, amelyek közül hat audio egyszer jelenik meg, 25 = 5 · 53, 53 · 5 négy példányban = 54. Ezért az esemény valószínűsége, hogy négyszer a leadott soha hengerelt hat, egyenlő, és a valószínűsége, ellenkező esetben, azaz a. e. a valószínűsége hat legalább egyszer, és a nyerési valószínűsége de Mere, egyenlő.
Így, de Mere-nek jobb esélye volt a győzelemre, mint a vesztésre.
Pascal érvelése és minden számítása a valószínűség fogalmának klasszikus definícióján alapul, mint a kedvező esetek számának és az összes lehetséges eset számának aránya.
Fontos megjegyezni, hogy a fenti számítások készülnek, és a fogalma valószínűsége, mint a számszerű jellemzőit egy véletlen esemény egyértelműen a tömeges jellegű a jelenség. Az az állítás, hogy a valószínűsége, hogy egy hat dobott a kockával 1/6, a következő objektív értelemben: ha nagyszámú dobálhat részesedése csapadék lesz hat átlagosan 16; így, a 600 kaphat hat dob 93, vagy 98, vagy 105, és így tovább. g. időt, de amikor nagy számú sorozat 600 dob átlagos előfordulások számát a sorozat hat dob 600 lesz nagyon közel 100.
Az esemény előfordulási számának és a próbák számának arányát az esemény gyakoriságának nevezik. Homogén tömegjelenségek esetén az események frekvenciája stabilan viselkedik, azaz nem oszcillál az átlagértékek körül, amelyeket ezeknek az eseményeknek a valószínűségeiként veszünk (a valószínűség fogalmának statisztikai meghatározása).
A XVII-XVIII. Században. Valószínűségszámítás jelentősen fejlődött, mivel a hatálya miatt az alacsony szintű természettudományi korlátozódott egy kis sor kérdésben (biztosítás, szerencsejáték, demográfia). A XIX. Században. és a mai napig, az igények szerint a gyakorlat, valószínűségszámítás folyamatosan és gyorsan változó megtalálása alkalmazása egyre inkább különböző területeken tudomány, a technológia, a gazdaság (az elmélet a megfigyelési hiba, tüzelési elmélet, a statisztika, a molekuláris és a nukleáris fizika, a kémia, meteorológia, kérdések tervezés, statisztikai ellenőrzés a termelésben stb.)
A valószínűségi elmélet a matematika egyik ága, amely a stabil frekvenciájú véletlen tömeges események mintáit vizsgálja.
Az elmélet alaphelyzete
Különösen nyilvánvalóan a statisztikai vizsgálatok probabilista jellege a mintavételi módszerben nyilvánul meg, mivel a mintaeredmények alapján tett bármilyen következtetést egy adott valószínűséggel becsüljük meg.
A piac fejlődésével a valószínűségek és a statisztikák fokozatosan egyesülnek, különösen a kockázatok kezelésében, az árualapokban, az értékpapír portfólióban stb. Külföldön, valószínűségi elméletet és matematikai statisztikákat nagyon széles körben használnak. Hazánkban még mindig széles körben használják a termékminőség-menedzsmentet, ezért a valószínűségi elméletek módszereinek elterjesztése és bevezetése a gyakorlatba tényleges feladat.
Amint már említettük, az esemény valószínűségét tömegjelenségekre vagy pontosabban homogén tömeges műveletekre határoztuk meg. A homogén tömeges művelet egy hasonló művelet megismétléséből áll, vagy mint mondják, tesztek. Mindegyik különálló teszt egy bizonyos számú feltétel létrehozását jelenti, amelyek elengedhetetlenek egy adott tömeges művelethez. Elvben lehetőség van korlátlan számú alkalommal reprodukálni ezt a feltételrendszert.
Example1. Amikor a kocka dobás „véletlenszerű” egyetlen lényeges feltétel az, hogy a csont dobott az asztalra, és minden egyéb feltétel (kezdeti sebesség, a levegő nyomás és hőmérséklet, és így színező részén. D.) nem veszik figyelembe.
2. példa A lövő ismételten egy adott célponttól egy adott távolságtól a megállási helyzetből indul ki; minden egyes lövés tesztelést végez tömeges forgatás alatt adott körülmények között. Ha a nyíl engedélyezett különböző felvételek változtatni pozíció ( „állva”, „hazug”, „térd”), akkor a fenti feltételek jelentősen megváltoznak, és beszélni a tömeges fényképezés műveleteket egy adott távolságot.
Az egyetlen művelet lehetséges eredményeit, vagy az S teszteket véletlenszerű eseményeknek nevezik. A véletlen esemény olyan esemény, amely előfordulhat, vagy előfordulhat, hogy nem történik meg a tesztelés során. Ahelyett, hogy "megtörténik", azt is mondják, hogy "lépsz", "megjelenik", "megtörténik".
Így amikor egy kockát dobál, a véletlenszerű események: egy adott számú pontból való kifogyás, egy páratlan pontszámból való leesés, több ponttól leesik, stb.
Amikor égetés esetén véletlenszerűen elérje a célt (a lövész is célba, és hiányzik), vele szemben egy véletlen esemény egy miss. Ez a példa világosan mutatja, hogy a koncepció a véletlen események valószínűségszámítás nem lehet érteni a hétköznapi értelemben vett, „ez puszta véletlen”, mivel a jó nyíl eltalálja a célt sokkal inkább szabály, mint egy baleset, megértette a szokásos értelemben.
Tegyük fel, hogy valamilyen n szám vizsgálatok esetén egy bekövetkezett m-szer, azaz m eredménye egyetlen műveletben, a „sikeres” abban az értelemben, hogy mi érdekli A realizált az esemény, és az n-m eredmények „sikertelen” - .. Event Egy még nem fordult elő.
Valószínűsége, hogy A esemény, vagy annak valószínűsége, hogy a „jó” egység tevékenységének eredményéről az úgynevezett átlagos értéke a relatív gyakoriság, azaz a. E. középértéke az arány „sikeres” az esetek száma az összes egység végzett műveletek (teszt).
Magától értetődik, hogy ha egy esemény valószínűsége. akkor n próba esetén az A esemény több mint m-szer, és kevesebb, mint m-szer; ez csak átlagosan m alkalommal fordul elő, és az N próbák többségében az A esemény eseményeinek száma közel lesz m-hez, különösen akkor, ha n nagyszámú.
Így a P (A) valószínűség egy bizonyos állandó szám, amely nulla és egy közé van zárva:
Néha százalékban kifejezve: P (A) • 100% az átlagos százalékos előfordulások számát A. Természetesen nem szabad elfelejtenünk, hogy beszélünk tömeges művelet, vagyis a S teszt termelés feltételei - adott; .. ha lényegesen megváltoznak, akkor az A esemény valószínűsége megváltozhat: ez az A esemény valószínűsége egy másik tömegben, más vizsgálati körülmények között. A jövőben ezt minden alkalommal elmondhatjuk anélkül, hogy egy bizonyos tömeges műveletről beszélnénk; Ha a vizsgálatok elvégzésének feltételei megváltoznak, különös figyelmet kell fordítani.
Két esemény A és B esetében azt mondják, hogy egyenértékűek, ha minden tesztnél vagy jönnek, vagy mindkettő nem jön.
Ebben az esetben írj
és ne különböztessük meg ezeket az eseményeket. Az egyenértékű események A = B valószínűsége nyilvánvalóan azonos:
Az ellentétes kijelentés természetesen helytelen: attól a ténytől, hogy P (A) = P (B), nem következik az, hogy A = B.
Az esemény, amely feltétlenül minden egyes teszten történik, az autentikusnak nevezik.
Elfogadjuk, hogy ezt a D betűvel jelöljük.
Egy megbízható esemény esetén az eltolódások m száma megegyezik az n próbák számával, ezért frekvenciája mindig egyenlő egy, vagyis egy megbízható esemény valószínűségét egyenlővé kell tenni az egységgel:
Egy olyan esemény, amely nyilvánvalóan nem történhet meg, lehetetlen lehet.
Elfogadjuk, hogy ezt a H betűvel jelöljük.
Egy nem lehetséges esemény esetén m = 0, ezért frekvenciája mindig nulla, vagyis a lehetetlen esemény valószínűsége nullával egyenlő:
Minél inkább egy esemény valószínűsége, annál gyakrabban jön, és fordítva, annál kevésbé valószínű az esemény, annál ritkábban fordul elő. Ha egy esemény valószínűsége közel vagy egy, akkor szinte minden tesztnél előfordul. Egy ilyen eseményről azt mondják, hogy gyakorlatilag megbízható, azaz biztosan számíthat a támadásokra.
Ezzel szemben, ha a valószínűség nulla vagy nagyon kicsi, az esemény rendkívül ritkán fordul elő; egy ilyen eseményről azt mondják, hogy szinte lehetetlen.
Mennyire kicsi az esélye egy eseménynek, hogy gyakorlatilag lehetetlen lehetetlennek tekinteni? Általános választ nem adhatunk itt, mivel minden attól függ, hogy mennyire fontos ez az esemény.
Például: ha például a villanykörtének sérülése 0,01, akkor ez összeegyeztethető. De ha 0,01 a valószínűsége, hogy egy erős méreg botulinum formában konzervdobozban van, akkor lehetetlen összeegyeztetni ezzel, hiszen 100 emberből egy esetben mérgeznek meg, és az emberi életeket fenyegetik.
- Valószínűség-eloszlás stb.
Események - az összes lehetséges kimenetel tetszőleges sorozata:
Egy esemény bizonyos, bizonyos körülmények között bizonyos körülmények között megtörténik.
Lehetetlen, olyan esemény, amely nem fog megtörténni, ha bizonyos feltételek teljesülnek.
A véletlen események olyan események, amelyeket bizonyos körülmények között előfordulhat vagy nem fordul elő.
Az eseményeket csak úgy lehet nevezni. ha az egyik közülük egy megbízható esemény.
Az eseményeket egyenlően lehet elnevezni. ha egyikük sem lehet több, mint mások.
Az eseményeket összeegyeztethetetlennek hívják. Ha valamelyik megjelenése kizárja annak lehetőségét, hogy egy másik megjelenjen ugyanabban a kísérletben.