Az arzela - stadopedia tétele
Annak bizonyítására, hogy a 3. §-ban a Cauchy-probléma megoldásának létezéséről van szó, először meg kell vizsgálni Arzela tételének bizonyítékát. Először több definíciót vezetünk be.
Fogalommeghatározás 1. Egy függvénycsalád egységesen határolódik egy intervallumban, ha létezik egy olyan szám, amely a család bármely funkciójában és bármelyik intervallumban
Példaként tekintse meg a családot, ahol a család paramétere. Mivel bármelyik számra létezik, akkor a meghatározott funkciók csoportja egyenletesen határolódik az egész valós tengelyen. Éppen ellenkezőleg, a funkciók családja semmilyen időközönként nem lesz egyenletesen határolva, mivel minden számhoz olyan szám és érték van, amelyik így lesz.
Fogalommeghatározás 2. Egy család funkciója egy intervallumon belül egyenlőnek mondható, ha létezik minden létezik olyan egyenlőtlenség, amely minden családon belüli és bármely két pontra és az időtartamra érvényes.
Például, vegyünk egy funkciócsoportot. Aztán láthatjuk, hogy bármelyik két pont és a következő becslés tartja :. Ebben az esetben u nem függ a család paraméterétől. Másrészt a család számára kiderül
. Az érték függ a család paraméterétől, ezért a család nem lesz egyenletes.
Definíció 3. Egy függvénysorozat azt jelenti, hogy egyenletesen konvergens egy intervallumra egy határfunkcióra, ha bármelyik számhoz olyan szám van, amely minden számra és bármely intervallumra :.
Ismeretes, hogy ha a folyamatos függvények sorozata egy bizonyos időközönként egyenletesen konvergál, akkor a szekvencia határfüggvénye folyamatosan ezen az intervallumon is folyamatos lesz. Ha a folyamatos funkciók sorozata konvergál, de nem egyenletesen konvergens, akkor a határfüggvény megszakadhat. Így a szekvencia összes funkciója folyamatos [0; 1] intervallumon, de ez a szekvencia nem egyenletes konvergens ezen az intervallumon, és a határfüggvény nem folytonos: