Az alap helyettesítése
Amint fent említettük, egy adott vektor tér alapja különböző módon vehető igénybe. Ebben az összefüggésben természetes probléma merül fel: a bázisok közötti kapcsolat leírása.
Bizonyítsuk be, hogy a vektortér dimenziója nem függ az alapválasztástól (azaz minden alap ugyanazon számú vektorot tartalmaz).
Adjuk meg a \ (e_1, e_2, e_n \) és \ (f_1, f_2. F_n \) alapokat a vektortérben \ (\ mathit \). A második alap bármely vektora az első bázis vektoraiban kifejezhető, így \ [f_1 = c_e_1 + c_e_2 +. + c_e_n, \ quad \ quad (41) \] \ [f_2 = c_e_1 + c_e_2 +. + c_e_n, \ quad \ quad (42) \] \ [. \] \ [f_n = c_e_1 + c_e_2 +. + c_e_n, \ quad \ quad (43) \]
vagy \ [f_k = \ sum_ ^ nc_e_m, k = 1,2. n. \ quad \ quad (44) \]
Definíció. A mátrix \ [C = \ left (\ begin c_ C_ C_ \ ldots c_ \\ c_ C_ C_ \ ldots c_ \\ \ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ c_ C_ C_ \ ldots c_ \ end \ jobb). \] elemeket, amelyeket a (41) - (43) kapcsolatok szerint vezetett be, az alap \ (\\) alaphelyzetének \ (\\) alapú helyettesítésének mátrixának nevezzük.
Hasonlóképpen, az egyik kifejezetten a vektor alapján \ (e \) keresztül a bázis vektorba \ (f \): \ [e_1 = b_f_1 + b_f_2 +. + B_f_n, \ quad \ quad (45) \] \ [e_2 = b_f_1 + b_f_2 +. + b_f_n, \ quad \ quad (46) \] \ [. \] \ [e_n = b_f_1 + b_f_2 +. + B_f_n, \ quad \ quad (47) \] vagy \ [e_s = \ sum_ ^ nb_f_k, s = 1,2. n. \] Ennek megfelelően a \ (B \) mátrix felmerül: \ [B = \ left (\ begin b_ B_ B_ \ ldots b_ \\ b_ B_ B_ \ ldots b_ \\ \ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ b_ B_ B_ \ ldots b_ \ end \ jobb). \]
Tétel. Az átmeneti mátrix alapból bázisra nem degenerált.
Behelyettesítve (41) - (43) (45) - (47), kapjuk: \ [e_s = \ sum_ ^ nb_ \ left (\ sum _ ^ nc_e_m \ right). \]
Az utolsó kifejezésben 2 véges összeg van. Véges összegek esetén a rendes aritmetika szabályai szerint lehetséges az összegzés sorrendjének permutációja. Felismerve azt, megkapjuk: \ [e_s = \ sum_ ^ nb_ \ left (\ sum _ ^ nc_e_m \ right) = \ sum_ ^ ne_m \ left (\ sum _ ^ nc_ B_ \ right). \]
Összehasonlítva a kifejezést a bal és a jobb oldalon, és a vektor koordináta egyediségét (t.e.koeffitsientov a \ (e_m \) a jobb és bal oldalon), kapjuk: \ [\ sum _ ^ nc_ b _ = \ delta _, \ quad \ quad ( 48) \], ahol \ (\ Delta \) - Kronecker szimbólum meghatározott összefüggés szerint: \ (\ Delta _ = 0 \) ha a \ (m \ NEQ s \), \ (\ Delta _ = 1 \), ha \ (m = s \). A bal oldalon a kapcsolatban (48) könnyen azonosítani mátrix szorzás mátrixok \ (C ^ T \) és \ (B ^ T \). A jobb oldalon elemei az identitás mátrix \ (E \), amely egységek az átlós, és a többi az elemek nulla. Így van a egyenlőség: \ [. C ^ TB ^ T = E \ quad \ quad (49) \] átültetésekor a egyenletet, azt találjuk: \ (BC = E \). A determinánsok tulajdonságai szerint \ det (B) det (C) = det (E) = 1. \] úgy, hogy a \ (B \), \ (C \) mátrixok nem regenerálódnak és fordítva legyen egymáshoz.
1. Bizonyítsuk be, hogy a két adott vektorrendszer mindegyike alapja. Keresse meg az átmeneti mátrixot egyik rendszerről a másikra. \ quad a_2 = (2,3,3), \ quad a_3 = (3,8,2), \] \ [b_1 = (3,5,8), \ \ quad b_2 = (5,14,13), \ quad b_3 = (1,9,2). \]
2. Hogyan változik az egyik alapból a másikba való átmenet mátrixa, ha a második alap két vektorát egymással váltják?