A folyamatos és diszkrét jelek spektruma közötti kapcsolat
A Z-transzformáció és a folyamatos Laplace-transzformáció közötti összefüggés tisztázására, valamint a diszkrét és folyamatos jelfrekvencia-frekvencia-tulajdonságok arányára, fontoljuk meg ezen jelek spektrumának viszonyát.
Az x (t) folyamatos jel spektrumát a Fourier-transzformáció határozza meg. ahol w = 2pf a jel körfrekvenciája, - ¥ w w ..
A diszkrét jel spektrumának kifejezéséhez először a d-függvények segítségével folyamatos formában kell megjeleníteni
ahol U * (t) egy d-függvénysorozat, amely egybeesik a T. periódussal. U * (t) periodikus függvényként egy Fourier-sorozat
ahol a kör alakú kvantálási frekvencia, Uk a Fourier-sorozat együtthatója:
ezért a Fourier-sorozat minden együtthatója k-tól függetlenül egyenlő. A d-funkciók teljes összegére
Az U * (t) helyettesítését a jelkifejezésben megkapjuk
Ebben a formában az x * (t) jelet a Fourier-transzformációnak vethetjük alá:
hol van a folytonos jel spektruma k w0-val eltolva?
Az általános következtetés: a diszkrét jel spektruma egy folytonos jel eltolt spektrumának végtelen összegét (5.6. Ábra) reprezentálja.
Ez azt jelenti, hogy bizonyos kvantálási frekvencián a diszkrét rendszerek frekvencia-jellemzői a megfelelő folyamatos rendszerek eltolódott frekvencia-jellemzőinek összegét jelentik. Ez azt is jelenti, hogy ha a folyamatos jel spektrum (wm) maximális frekvenciája, vagy a rendszer folyamatos részének (wn) maximális átviteli frekvenciája kisebb, mint a w0 kvantálási frekvencia fele. akkor nem következik be a spektrum egyes komponenseinek szuperpozíciója, és a diszkrét rendszer jellemzői egy jelentős frekvenciatartományban egybe fognak menni a folyamatos rendszer jellemzőivel.
Ezért a rendszerre szükség van.
A folytonos jel diszkrét értékének diszkrét értékekkel történő diszpektorált továbbításához szükség van a folyamatos jel spektrum maximális frekvenciájára.
Ez utóbbi feltétel egy rúd ismert impulzus-Shannon-tétel Kotel'nikova miáltal kvantálási jelentése W0 = 2P / T legyen legalább 2-szer nagyobb, mint a maximális frekvenciája a folytonos spektrum a továbbított jel által diszkrét értékek.
5.3.2. A folyamatos Laplace transzformáció közötti kapcsolat
és a Z-transzformáció
A folyamatos Laplace és Fourier transzformációkból származó kifejezésekből következik, hogy és. Ezeket a kapcsolatokat használjuk a diszkrét jelek átalakulásához és kapunk. Ha beírja a csereprogramot. kapjuk a kapcsolatot a folyamatos Laplace transzformáció és a Z-transzformáció között
Szimbolikusan ez a kapcsolat a következőképpen íródott:
amely szimbolikusan jelenti.
Az F (z), F (z, s), F (s) rögzített kapcsolási kifejezések elsősorban elméleti jelentőséggel bírnak, és nem használhatók F (z) és F (z, s) F (s) gyakorlati meghatározására. Az F (s) - F (z) és F (z, s) gyakorlati átmenet két módja van.
Az eredeti képnek megfelelő időfüggvény előzetesen meg van határozva.
A diszkrét tartományra történő áttérés megkönnyítése érdekében először az F (s) -ot egyszerű összegek összegére bontjuk.
Az egyszerű kifejezésekre való kiterjesztés megadja
A levelező táblázatok közül:. Így. A (z) transzformációval f (t) -ra bontva a következőket kapjuk:
Közvetlen átmenet az F (s) -ről F (z) -re, a képek megfeleltetési táblázatával [6]. Ha az adott F (s) -hoz tartozó táblázatban nincs kép, akkor az F (s) egy egyszerűbb kifejezések összegére bomlik.
Egy példa. Hadd legyen. Az F (s) által megadott kifejezések összegét képviseljük. hol. Meghatározzuk a módosított Z-transzformációt
Egy különleges eset. fontos a Z-képek rögzítésének gyakorlatában egy adott F (s) szerint.
5.3.3. Az inverz Laplace transzformáció
Az inverz Laplace transzformáció az f (t) időfüggvény meghatározása, amelyre a közvetlen Laplace átalakul
Az inverz Z-transzformáció egy f (nT) (f [(n + s) T] diszkrét időfüggvény meghatározása, amelyhez vagy.
Megjegyezzük azokat a korlátozásokat, amelyeket az inverz Laplace transzformáció vagy az inverz Z-transzformáció végrehajtásával szem előtt kell tartani.
1. Nem minden F (s) függvény fordított transzformációval rendelkezik. Az inverz transzformáció létezését az F (s) -re szabott szükséges és elégséges feltételek határozzák meg.
2. A közvetlen Laplace-transzformáció minden olyan f (t) számára egyedülálló, amely ilyen transzformációval rendelkezik. Az ellentétes kijelentés általánosságban tisztességtelen. A különböző nem folyamatos funkciók ugyanazt a Laplace transzformációt vehetik igénybe. Például az egység lépési függvénye f (t) = 0 t számára <0 и f (t ) = 1 для t> 0 a Laplace transzformáció 1 / s, függetlenül a t = 0 értéknél vett értéktől.
3. Az inverz Z- vagy Zs-transzformáció, ha létezik, lehetővé teszi számunkra, hogy csak a t = nT idő pillanatában létező folyamatos függvény-eredeti egyedi értékek sorrendjét határozzuk meg.
t = (n + s) T. Az f (t) borítékok halmaza ugyanazt a f (mT) vagy f [(n + s) T] diszkrét értékű sorozatot illeti. Ezért az inverz Z-transzformációban elvileg nem lehet rekonstruálni egy folyamatos f (t) függvényt.
Két általánosan praktikus módja az inverz transzformációk meghatározása mind a folyamatos, mind a diszkrét rendszerek számára.
1. Az inverz Laplace transzformációk és az inverz Z-transzformációk tábláinak használata, például [6]. Ha az eredeti F (s) és az F (z) képek nincsenek a táblázatban, akkor a bomlást a táblázatban elérhető képek összegére vagy termékeire kell bontani.
2. Használja az inverziós képletet.
A folyamatos képhez
A kontúrelem értékét a nyitott intervallumban határozzuk meg, ahol f (t) határolt, és véges számú extremum és diszkontinuitáspontot tartalmaz. Az oldat gyakran beszerezhető a maradék tétel segítségével:
A kezelés integrálszámának a maradékanyagok összegeként való számítását széles körben alkalmazzák az automatikus vezérlőrendszerek számítógépes szimulációjában használt különböző szoftvertermékekben.
Diszkrét kép esetén az inverziós képletnek van formája
Az R integrációs kontúrnak magában kell foglalnia a Z sík eredetét és az integrand összes pontját. Mint a folytonos esetben, a kör alakú integrál általában az integrandum maradványainak összegeként számítható ki az egyes pontokban:
N a maradékanyagok száma; N = q + 1 n = q esetén n> 0, ahol q az F (z, s) függvény egy-egy pontjának száma.
A levonások kiszámítása az alábbiak szerint történik:
- egy egyszerű oszlopra
- többszörös többpólusú m
A két általános módszer mellett az inverz Z-transzformációk esetében az F (z, s) expanziót egy sorozatban alkalmazzuk növekvő z -1-es teljesítményben a Z-transzformáció alapképletének megfelelően
Ha F (z, s) egy racionális frakcióval van ábrázolva, akkor a z -1 hatalom kiterjesztése úgy hajtható végre, hogy egyszerűen elosztjuk a számlálót a nevezővel.
A bonyolultabb F (z) és F (z, s) kifejezések esetén jobb a rekurzív képlet használata:
A folyamatos rendszer differenciálegyenletének átalakulásához hasonlóan a diszkrét rendszer különbségegyenletének Z-transzformációja valósul meg.
Adjuk meg a diszkrét rendszert egyenlet segítségével
Ezt a különbségegyenletet a Z-transzformációnak vetjük alá, figyelembe véve, hogy a kezdeti feltételek nullának számítanak:
A kapott egyenletet tömör formában írjuk
A Z-képek arányának figyelembe vételével megkapjuk a diszkrét rendszer átviteli függvényeit a kontroll és a zavaró hatások szerint:
Egy diszkrét folytonos rendszer esetében a diszkrét átviteli függvény meghatározása a csökkentett folyamatos rész folyamatos átviteli függvényéből a Z-dómén diszkrét ekvivalensére való átmenet alapján történik. Ezt az átmenetet egy nyitott, diszkrét folytonos rendszer példájával mutatjuk be egy impulzuselem segítségével (5.7 ábra). A diagramon.
Mivel a csökkentett folyamatos rész bemeneti jele a g (t) bemeneti jel által modulált d-függvények összege, az y (t) kimenőjel a d-függvény LPG válaszának összegét jelenti; vagyis az LPG súlyfüggvényeinek összegét
Ha az y (t) folyamatos jel helyett csak az y (nT) vagy az y [(n + s) T] diszkrét értékeit kapjuk, akkor kapjuk az y (n) vagy y (n.) Rács függvényt:
Ezt a rácsfüggvényt a módosított Z-transzformációnak vetjük alá
Figyelembe véve a konvolúciós tételt, van
Itt van egy diszkrét folytonos rendszer diszkrét átviteli függvénye. Egyrészt összekapcsolja a különálló jelek Z-képét, másrészt a redukált folyamatos rész átviteli függvény Z-formájaként definiálódik.
A diszkrét rendszerek szerkezeti diagramjaiban az impulzus (diszkrét) elemeket a kulcsok képviselik (5.8. Ábra). Néha egy kulcs záró nyíllal és egy nagy betűvel van ellátva, ami azt jelenti, hogy az elem kvantálást hajt végre egy T. időtartammal.
Az ideális impulzuselemet egy téglalap ábrázolja, amelynek szimbóluma - belül van funkciója (5.9. Ábra, a).
A formázó elemet egy szokásos, folyamatos összeköttetésként ábrázolják egy téglalap, amelynek átviteli funkciójának rekordja (5.9. Ábra, b).
Az általános szerkezeti ábrákon túlmenően széleskörűen alkalmazzák a részletes szerkezeti rendszereket, amelyek csak inerciális mértékegységekből állnak, és ideális integráló kapcsolatok és teljesen nyitott kapcsolatok közöttük.