Hossz számítási sima görbe
1. Concept rectifiable görbe és annak hossza
Hagyja, hogy a görbe L jelentése parametrikusan L .. egy £ t £ b. ahol j (t), y (t) folytonos [a; b]. Vegyünk egy tetszőleges partíció intervallum T [a; b] szegmensekre metszették. . úgyhogy.
A pontok a partíció szegmens [a; b] megfelelnek az pontot a görbén, azaz A kapott pont koordinátái pontokat köti össze szegmensek, és kaphat egy sokszögű összhangban csúcsok. Ez lesz az úgynevezett sokszögű feltüntetik egy megfelelő görbét az adott partíción L. T. egységnyi hosszúságára lejtős. így a hossza a szaggatott vonal
Jegyezzük meg, hogy egyértelműen meghatározzák a partíció T. Let. .
Definíció 1. A görbe L rectifiable. ha van egy határa összegének (1).
Amikor ez a szám az úgynevezett L hossza a görbe.
2. kiszámítása a hossza a sima görbe
1. Lemma Az egyenlőtlenség:
1) Ha. és az egyenlőtlenség nyilvánvaló.
2) ha. akkor legalább az egyik szám B vagy C nem egyenlő 0. Ekkor
2. Lemma (összegző tulajdon). Ha rectifiable görbe pont L M0 van osztva két görbe L1 és L2. Ezeket a görbéket rectifiable és Definíció 2. Az L görbe sima. ha az egyenlet felírható paraméteres formában. t Î[A; b], ahol j (t) és y (t) folyamatosan a származékok j ¢ (t) és y ¢ (t), ugyanabban az időben nem lesz nulla (azaz).
Definíció 3. A görbe L szakaszonként sima. ha osztható véges számú sima íveket.
1. Tétel Minden sima görbe L .. t Î[A; b], rectifiable és annak hosszát úgy számítjuk ki, a képlet
Vegyünk egy tetszőleges partíció intervallum T [a; b] konstrukció darabokra és a tört. írva a görbe, és az L, amely megfelel a partíció T. A hossza úgy számítjuk ki, az (1). Funkciók j és y a szegmens () eleget Lagrange-tétel. ezért
Ezután (1) következik. (3)
Ha (3) bekezdése helyébe. akkor megkapjuk az integrál összege a funkciót [a; b]. Mivel j ¢ (t) és y ¢ (t) a [a; b] folytonos, a függvény folytonos az [a, b]. de aztán
Nézzük meg a különbséget, és azt mutatják, hogy. Ez azt jelenti, hogy van egy azonos. Vagyis, mi kapjuk (2).
Úgy becsüljük modulusa a különbséget:
Alkalmazása lemma, megkapjuk:
A funkció y ¢ (t) folytonos [a; b], ezért ez egyenletesen folytonos ebben az intervallumban, tehát, elégedett
Tegyük fel, a partíció T kielégíti a feltételt. Aztán. Ezért alapján (5) van:
Ezután (4).
(1) általános lehet írott formában.
Megjegyzés 1. Legyen egy sima görbe a következő egyenlet adja. Térjünk át a paraméteres egyenleteket. Hisszük:
2. Megjegyzés: Legyen egy sima görbe polár koordinátákkal egyenlet adja meg. Térjünk át a parametrikus hozzárendelés: