Algebrai és geometriai multiplicitása sajátértékek és azok kapcsolatát
A algebrai sokfélesége sajátérték - annak multiplicitása mint gyökér a karakterisztikus polinom.
A geometriai multiplicitása sajátérték - a dimenziója saját altér ker (A- λI).
A kritérium a saját értékeit, ebből következik, hogy a geometriai sokfélesége a sajátérték szigorúan pozitív. valamint az a tény, hogy a geometriai multiplicitása nem nagyobb, mint az algebrai. Ebből következik, hogy ha a algebrai multiplicitás értéke 1, akkor a geometria is egyenlő 1.
Kritérium diagonalizability lineáris operátor mátrix, elégséges feltételek diagonalizability lineáris operátor.
Kritérium: A Mátrix Ae üzemeltető AL (Vn) az alapján [e> diagonális, ha, és csak akkor, ha az alapvető vektorae1, e2, ... en sajátvektorai A. Ha egy mátrix Ae az alapján sajátvektorok kap:, gdeλ - sajátértékei a:
Dokkoló: Elég. Ha alapján [e], amely a sajátvektorai A, t.e.Aek = λkek, akkor szerint a meghatározása a mátrix operátor lineáris imeetAe - diagonális mátrix izλ1 ... n ..
Szükségszerűség. Hagyja, hogy a mátrix Ay lineáris szereplő alapján [e] formájában van diagonális mátrix izλ1 ... n. Ezután, nyilvánvalóan, a lyubogoi = 1 ... .N AEI = λiei, tee1, e2, ... en - sajátvektorok aλ1, λ2, λ3 ... .λn - sajátértékek A. QED.
Cayley-Hamilton-tétel
A p polinom (λ) X úgynevezett változó törlésének négyzetes mátrix, ha megkapjuk az nullmátrix helyettesítve az A mátrix a polinom a változó λ, azaz p (A) = O.
Négyzet alakú mátrix nevezzük karakterisztikus polinomja.
Tétel: A karakterisztikus polinomja a mátrix, hogy megsemmisítse azt, azaz,
Dokkoló: Jelöljük cherezmatritsu csatlakozik a jellemző mátrixot. Aztán a következő tétel
A jobb oldalán ezen egyenletek lehet tekinteni, mint polinomok mátrix együtthatók (együtthatója minden egyes karakterisztikus polinom szorzódik az azonosító mátrix). A fenti egyenlet az következik, hogy a λ-mátrixot van osztva (A-lambda) jobb és bal nem maradék, azaz a A maradék zérus mátrix. Bezuostatok Poobobschennoy tétel a bal és jobb értékek mnogochlenapri A permutációs mátrix helyett A. Ezért kapjunk = 0, azaz, szükség szerint.