Példák tipikus megoldások - studopediya
1. példa A algebra N = (N; +) nem egy csoport, hiszen nem a axiómák G2 és G3.
2. példa algebra N = (N; ×) nem egy csoport már megzavarta G3 axióma.
3. példa Annak bizonyítására, hogy a algebra Z = (Z; +), Q = (Q; +), R = (R; +), a C = (C; +) végtelenek additív Abel-csoportok.
Bizonyítás. Megjelenítése, például, hogy Z = (Z; +) végtelen additív Abel-csoport. Tény, hogy az axiómák:
Emellett számos Z - végtelen.
Mi azt akartuk bizonyítani.
4. példa Annak bizonyítására, hogy az algebra Q * = (Q *; ×), R * = (R *, ×), C * = (C *; ×) vannak multiplikatív végtelen Abel-csoportok.
Bizonyítás. Megmutatjuk, például, hogy a algebra C * = (C *; ×), ahol C * = C \ jelentése multiplikatív csoportjában Abel végtelen. Ehhez teljesítését ellenőrizni az axiómák G1 - G4. Van:
Ezen túlmenően, a C * - végtelen sok.
Mi azt akartuk bizonyítani.
Megjegyezzük, hogy az algebra Q = (Q; ×), R = (R; ×), C = (C; ×) nem csoportok feltörték G3 axióma (a 0, nincs inverz elem, mivel az elem nincs meghatározva ezekben készletek).
5. példa A algebra Z = (Z; ×) nem egy csoport, mivel a G3 axióma nem kerül végrehajtásra.
6. példa Az a műveletek tulajdonságainak a permutációk FN az algebra (n>; ×) egy multiplikatív csoportja véges rendű n. Ez a csoport az úgynevezett szimmetrikus, és jelöljük S n.
Példák 7 - 12. Az elmélet a geometriai síkban transzformációk (. Cm geometria természetesen), mutatjuk be az alábbi végtelen multiplikatív csoport: 7) D = (D; x) a csoport összes mozgások a síkban; 8) T = (T, x) - csoport párhuzamos fordítások síkban; 9) Ro a = (Ro a; ×) a csoport összes forgási síkban az O pont; 10) A = (A; ×) -csoport síkban affin transzformáció; 11) Ð = (P; ×) -csoport sík projektív transzformáció; 12) F = (F; ×) -csoport szimmetria geometriai alakzat.
13. példa Legyen R [X] - a készlet minden polinomok egy x változó az együtthatók a valós számok halmaza R. Ezután azt mutatják, hogy az algebra R [X] = (R [X]; +) végtelen additív Abel-csoport. Tény, hogy az axiómák:
Továbbá, több R [X] - végtelen.
Mi azt akartuk bizonyítani.
14. példa Triviális véges Abel-csoport, sorrendben 1: 0 = (+) - additív, Å = (; ×) - multiplikatív.
15. példa könnyen ellenőrizhető, hogy a algebra G = (; ×) egy multiplikatív Abel-csoport 2-rendű.
16. példa Annak igazolására, hogy a készlet minden n-edik gyökere 1 fok tekintetében szorzás képez Abel-csoport.
Bizonyítás. Emlékezzünk, hogy az érték
Ezek az úgynevezett vissza az n-edik fokú 1. a komplex síkban a gyökerek n - ed-fokú 1 Bemutatás csúcsai egy szabályos n - gon írva az egység kör.
Azt ellenőrzik, hogy az axiómák G1, G2 ¢. meghatározunk egy második csoport:
G2 ¢. A készlet gyökerek n - edik fokú 1 kielégíthető osztási művelet. Valójában, ha a em és ES - bármely gyökerek n - edik fokú 1, akkor. azaz magán a gyökere n-edik fokú 1. A kommutativitás szorzás a komplex számok legyen kommutatív szaporodását gyökerek n - edik fok 1: em es = es em.
Így a algebra (; ×) - multiplikatív véges Abel-csoport n-edrendű.
Mi azt akartuk bizonyítani.
Példa 17. Mivel hozzáadásával négyzet mátrixok n - edik érdekében a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
18. példa Annak bizonyítása, hogy a beállított Z csoportot alkot hatása alatt alábbi képlet határozza meg:
a * b = a - b, és ha - páratlan szám, b - bármely egész szám>. Bizonyítás. 1. Tekinthető Z csökken, hogy a hatás a hozzáadásával vagy kivonásával, egész számok, és mivel mind a összeadás, kivonás elemek a Z-ből kapott egy elemének Z, akkor Z sor, hogy a szóban forgó intézkedés a művelet. G1. Elemezzük az eset lehetséges: c) Ha egy - páratlan szám, b - páros szám, és a - tetszőleges számú Z, majd a - b páratlan, mivel (a * b) * c = (a - b) - c. a * (b * c) = Tehát, amikor csak lehetséges, mivel a Z művelet * asszociatív. G2. Mivel a 0 - még, 0 * a = 0 + a = a. Továbbá, ha egy páros, akkor a * = 0 + a = 0; Ha A páratlan, akkor a * 0 = a - 0 = a. Így minden esetben, 0 * a = a * 0 = a. azaz Z 0 jelentése egy semleges elem képest egy előre meghatározott művelet *. G3. Bármely elem a ÎZ Z s létezik szimmetrikus elem (a): az egyenletes és szimmetrikus elem ellentett van megadva. mint az A * (- a) = a + (-a) = 0; páratlan és szimmetrikus elem száma egy is. mert Így a axiómák G1-G3, és így a algebra Z = (Z; *) Ezzel szemben, a csoport (Z; +), ez nem Abel-csoport, mivel G4 nem kerül végrehajtásra több axióma. Tény, például 4 * 5 = 4 + 5 = 9, 5 * 4 = 5 - 4 = 1, azaz, 4 * 5 * 5 ¹ 4. Mi azt akartuk bizonyítani. 19. példa Annak bizonyítása, hogy a algebra Zm = (Zm; +), ahol Zm = =<> - sor maradék osztályok modulo m, egy adalék Abel-csoport a sorrendben m. Bizonyítás. Emlékezzünk, hogy a kívül bármely két maradék osztályok és, i. J = 0, 1, 2, ..., m - 1, a következőképpen határozzuk meg: Ez könnyen igazolható, hogy egy bizonyos összeget, így a maradék osztály nem függ a választott egyéni képviselői osztályok előállításához használt összeg. Zm ellenőrzi érvényességének feltételeit, amelyek meghatározzák az adalékanyag Abel-csoport. Valóban, definíció szerint, a szermaradvány mennyisége osztályok modulo m csak egy jól meghatározott csoportját levonást ugyanabban a modulban (izolálása műveletei mellett). (Asszociativitás összeadási művelet). (Elem nulla létezik). (A létezés minden eleme vele szemben). Vegye figyelembe, hogy az ellenőrzés a fent említett feltételeket a maradék osztályok, már lényegében használta ki ugyanezen érvényességi feltételeit az egész számok. Mi azt akartuk bizonyítani.
Kapcsolódó cikkek