öt sarkok
A közelmúltban, a matematikusok, a University of Washington Bothell képes volt felfedezni egy új típusú ötszögletű csempézés. Ő volt a tizenötödik, ismert abban a pillanatban. Meghívjuk az olvasó megértse, hogy ez általában a parketta és milyen figyelemreméltó tulajdonságokkal rendelkezik.
Kezdjük, sőt, parkettás koncepció, amely az úgynevezett csempék. Parketta nevezzük partíciót a sík poligonokba úgy, hogy minden két alakzat metszéspontja, vagy egy párt, vagy a tetején, vagy nem metszik egymást egyáltalán. Persze, hogy dolgozzon ki az ilyen partíciókat lehet nagyon sok, de mi érdekli csak meglehetősen szimmetrikus padlón.
A legegyszerűbb típusú padló nevezett platóni, - a parketta szabályos n-szög, azaz sokszög, amelyben az összes sarkok és minden oldalról egyenlő.
Minden ilyen tilings három darab: a gépet csak jobb háromszögek zamoschat, quadok (más néven négyzetek) és hatszög. Elég könnyű bizonyítani. A szögek összege a sokszög képlettel számítjuk ki 180 (n - 2). Ennek megfelelően, a szög helyes n-szög ebben az esetben a 180 (n - 2) / n. integer szögek konvergálnak minden csúcsa a parketta (például K darab), és ezek összege egyenlő kell legyen 360 fok. Mi megszerezni ezeket két egész szám következő személyazonossági K (n - 2) = 2n. Ez könnyen megjeleníthető a mell, hogy ez az egyenlőség megoldható csak n = 3, 4 és 6.
Vicces, hogy ha elvetjük a feltételek egy szabályos sokszög, és például, úgy a parketta, tagjai csak konvex sokszög (azaz, sokszögek, amelynek minden szöge kisebb, mint 180 fok), akkor világossá válik, hogy a felek az ilyen poligonok még mindig nem lehet több, mint hat. Belátjuk, ez azonban kissé bonyolultabb. Ha elhagyjuk a feltétellel konvexitás, a heptagon is jól zamoschat síkon.
Kép: Wikimedia Commons
Ami engedélyezett a parketta sokszögek, valamit róluk lehet mondani. Csempe a gépet lehet bármilyen háromszög - elég ahhoz, hogy ki, és lett egy példányát egy paralelogramma. Önkényes négyszöget a szerepe a parketta is alkalmas.
kíváncsiak a hatszög. Például, akkor megteszi a platóni csempe és nyújtózkodni kezd az egyik irányba. Az eredmény egy parketta nem szabályos hatszög. Kiderült azonban, hogy egy ilyen szakaszon (valamint néhány trükkösebb konverzió) megtartja rögzített tulajdonságai.
Leírni őket, jelöli a szögek a hatszög, mint az A, B, C, D, E, F, és mindkét oldalán a, b, c, d, e, f. Ugyanakkor úgy véljük, hogy a szomszédos oldalon a sarokban egy jobbra, és minden oldalról és sarkok vannak elnevezve az óramutató járásával megegyező irányban. A 60-as években a múlt század bebizonyosodott méltó tétel: hatszög csempe a gépet akkor és csak akkor tartozik egy vagy több, a három osztály (osztályok keresztezzük itt például egy szabályos hatszög tartozik mind a hármat):
- A + B + C = 360
- A + B + D = 360, a = d, c = e
- A = C = E = 120, a = b, c = d, e és f.
Hosszú ideig ez a lista tartották teljes 1968-ig Robert Kershner hirtelen felfedezte három osztályba. 1975-ben, a matematikus, Richard James növelni ezt a számot kilenc. Itt a történelem kezdődik a móka - a nyitó James írta a Scientific American magazin. Cikk látta Marge Rice, az amerikai háziasszony és részmunkaidős amatőr matematikus. Tervezd meg a saját rekordot ötszögű tilings azt a 10 éves, hozta a rendszert számuk 14.
Kép: Wikimedia Commons
És akkor végül, 30 év után, a kutatók a University of Washington Bothell megnyílt 15. csempézés. Tették ezt azzal a számítógép segítségével: ebben az egyetemi projekt számszerű tanulmány tilings részvételével diákok végzik több éve. Az egyik bandatag, Casey Mann elismeri, hogy ez történhet egy kellően nagy keresést. Hogy nincs komoly előrelépés nem szükséges ez a felfedezés.
Csempézés egyetlen domború csempe - nem az egyetlen, és talán nem is a legérdekesebb. Ha lehetővé teszi a használatát több csempe a padlón, a tulajdonságait a fedés lesz érdekes. Ha ezeket a lapokat - szabályos sokszögek, van egy véges halmaza csempe van egy végtelen számú ilyen tilings.
Ahhoz, hogy ez a dal, akkor próbálja szűkíteni a osztálya tilings. Ez a szűkület jól ismert, és az úgynevezett homogén fedés. Homogénnek nevezzük parketta, ahol a megfelelő transzformációs sík (forgási és transzlációs ez) bármely parketta vertex lehet lefordítani bármilyen más. Bizonyos értelemben, hogy a padló minden csúcsot egyenlő, és a globális eszköz parketta következménye annak helyi struktúra.
Figyeljük meg, hogy a korábban említettek platóni tilings homogének. Tehát amellett, hogy ez a három van nyolc egységes tilings álló szabályos sokszög. Ezek az úgynevezett archimédeszi tilings.
Kép: Wikimedia Commons
Végül a legegzotikusabb osztály - nem periodikus és aperiodikus tilings. Furcsa módon, de a két fogalom különböző osztályok matematikai objektumok. Az első esetben a kérdéses partíciót nem kell transzlációs szimmetriát. Ez azt jelenti, hogy a partíció egy olyan megoldás kell semmilyen vektor elmozdulás, ami lefordítja ezt a partíciót magát.
Itt két ilyen példa a nem periodikus. Az első parketta - megnyitja a szfinx. Sphinx úgynevezett nem konvex ötszög, amely nyert hat egyenlő oldalú háromszög. A trükk az, hogy a négy azonos sphynx Sphinx lehet ragasztani, hogy hasonló (tekintve hasonló háromszögek) forrás. Ezen művelet ismétlődése (ahogy ebben a SFII), lehetőség van arra, hogy össze egy önhasonló fedés a sík.
Egy másik példa a nem periodikus padló - cserép Foderberga. Ez egy nem-konvex enneagon. Útburkolat kezdődik sokszög, majd körül a két csúcsot egybevágó sokszögek megállapított spirál. Idővel, a spirál ágak lazításra és kap egy nem periodikus csempézés.
Mindkét példa az a közös, hogy mindkét esetben az ugyanazon a csempe létrehozhat egy periodikus tilings (azt javasolják, hogy teszteljék az olvasó, mint a feladat). Aperiodikus csempézés padló hívják ilyen sor csempe, hogy lehetetlen megállapítani bármelyike periodikus csempézés. Talán a legismertebb aperiodikus csempék - a Penrose fedés, amely két csempe.
Vannak aperiodikus tilings egyetlen cserép - a kérdés még nyitott. Az egyetlen dolog, ami, mint már említettük, ha ilyen létezik tilings, azokat ötszögletű.
Kép: Wikimedia Commons