Megszámlálhatatlan halmaz - studopediya
Fontolja meg a készlet R. Vessük össze azt a beállított N. Nyilvánvaló, hogy ½N ½. Valóban, a [0; 1] tartalmaz megszámlálható részhalmazát. ezért ez nem kevesebb, mint megszámlálható. Azt mutatják, hogy a [0; 1], és N nem egyenértékű a beállított, azaz hogy.
Tétel. A beállítási pontok a [0; 1] nem megszámlálható.
A bizonyíték a módszer „éppen ellenkezőleg”. Tegyük fel, hogy a beállított [0, 1] megszámlálható, azaz N létezik bijekciót a [0, 1], és mindegyik elem lehet hozzárendelni a szegmens száma: N>. Minden intervallum [0; 1] képviseli formájában egy végtelen tizedes tört. ahol - j-edik decimális számjegy i-edik eleme. Írja le minden eleme N. emelkedő számsorrendben. Megmutatjuk, hogy van egy elem b. tartozó intervallumot [0, 1], de nem esik egybe sem a számozott elemek N. A építési mód egy ilyen elem nevezzük Cantor és átlós eljárás a következő. Készítünk egy elem b formájában egy végtelen tizedes tört. ahol - az i-edik decimális számjegy. Ahogy vesszük olyan szám, nem ért egyet. - minden olyan szám, amely nem ért egyet. stb bármely N (6.). Építőelem b így tartozik a [0, 1], de eltér az egyes számozott elemek a legalább egy számjegyet. Ezért az a feltételezés, hogy van egy bijekciót N ® [0; 1] téves, és a beállított [0, 1] nem megszámlálható.
6. ábra átlós eljárás Cantor
Így kimutatták, hogy ½ [0, 1] ½> ½N ½, azaz, ekvivalencia osztály, amelyhez tartozik a [0; 1], jobbra található az osztály À0 megszámlálható készletek száma a kapacitás (ábra. 5). Jelöljük ezt az osztályt À (No index). Készletek ebbe a csoportba tartozó nevezik megszámlálhatatlan halmaz és számossága kontinuum (folytonosság - folyamatos). Ebbe az osztályba tartoznak, és a (0, 1), valamint a valós számok halmaza R és több pontot a körön síkon.
Példa. R sokasága van számossága a folytonosság, mint azonos hatásúak a [0; 1]. Valóban, Cantor Bernstein tétel (lásd 1.4.3.) ½ [0; 1] ½ = ½ (0; 1) ½. Bijekciót intervallum (0, 1) egy több R állíthatók be komplex funkciója. ahol a forma és megjeleníti a (0, 1) időközönként. és megjeleníti az intervallum K törvény.