határa

17. Hogy egy példát divergens szekvenciák, melyek

lim (x n + p - x n) = 0, p N.

18. Tegyük fel, hogy egy N, N N. Igazoljuk, hogy a szekvenciát a tizedes számok konvergál.

2.2.1 A határpont a készlet

Definíció 2.2.1. Legyen X - egy nem üres részhalmaza R. Egy pont nevezzük Ra határpont a X. Ha U a szomszédságában egy pont létezik, legalábbis az egyik, hogy nem esik egybe a. munkapont X.

Definíció 2.2.2. Ha R és U egy - egy bizonyos környéken

pontokat, majd az U a \ hívják lyukasztott városrészek

Stu a pont, és jelöli U egy.

határpont a készlet X.

Példa 2.2.3. Ha X = N, a határpont az X kizárólag + ∞.

Amint a példák, a maximális munkapont tartozhat mindkét formában, és nem tartozik hozzá.

Tétel 2.29. Ahhoz, hogy egy R-pont volt beállítva határpont X R, szükséges és elégséges, hogy létezik egy elemeinek X., mint egy, konvergáló a.

Szükségszerűség. Tegyük fel, hogy egy - határpont X. Feltételezzük, hogy a R. Ezután, a szomszédságában az U egy (1 / n), n N van egy eleme a beállított X \, amely jelöli x n. következetes

NOSTA tulajdonságokkal rendelkezik: X n X \, egy - N 1

Megfelelősége. Tegyük fel, hogy a szekvencia olyan, hogy X n X, X N 6 = A, X n → a. Mi fix tetszőleges U környezete egy pont. Szekvencia opredeleniyu2.1.3 határérték létezik számos N = N (U a) olyan, hogy x n U egy. n> N. Tekintettel arra, hogy X n X \, megkapjuk,

U egy, amely tartalmaz egy végtelen részhalmaza X, és így, egy - egy határpont a X.

Tétel 2.30. Minden végtelen valós számok halmaza legalább egy határpont.

Legyen X - végtelen részhalmaza R. Nyilvánvaló, hogy van egy sorozat különálló elemeinek X. szerint teoreme2.20 szekvenciát legalább egy részleges korlátot. Legyen P (). Aztán nay-

létezik egy alszekvenciája, hogy a = lim x n k. mint

X n k X, k N, és minden, de egy lehet, eltér a, majd egy - határpont X.

Megjegyzés. Bármely véges X R nem korlátozza pont.

2.2.2 funkciójának meghatározása határ

Ebben a fejezetben azt fogjuk feltételezni, hogy X - egy nem üres részhalmaza a valós számok R, a - határpont X, és egy valós értékű függvény f meghatározni X. Ezért, amikor a jövőben beszélni az f függvényt jelent, ha másképp valami mást, hogy f. X → R.

Definíció 2.2.3. A pont R az úgynevezett határérték f függvény. X → R a ponton egy (vagy több mondjuk egy - limit f függvény x hajló), ha bármely szomszédos U egy A pontot, létezik egy U környezete egy pont egy, hogy a kép minden egyes pontja

Megjegyzés. Tól opredeleniya2.2.3 limit funkció, amely a létét és nagyságát a határ az f függvény az a pont nem befolyásolja az értékét az f függvény az a pont, ha X; Ezen túlmenően, az f függvény nem lehet meghatározni azon a ponton a.

Mivel a meghatározása a szomszédságában a végpont és azonosítunk egy R környéke végtelen szimbólumok, megjegyezzük, hogy a fenti meghatározása a függvény a ponton határérték adható szempontjából

Definíció 2.2.4 (Cauchy). Azt mondjuk, hogy a szám egy R

a határ az f függvény pontban egy R, ha bármilyen számú ε> 0 számra létezik olyan δ = δ (ε)> 0, hogy minden x X, feltételeket teljesítő 0 <|x−a| <δ выполняется соотношение

Idézve szempontjából az "ε - δ", hogy lim f = + ∞.

Definíció 2.2.5. Azt mondjuk, hogy egy + ∞ a határ az f (x) az x → -∞, ha bármilyen számú ε> 0 számra létezik olyan δ = δ (ε)> 0, hogy minden pontot x x, kielégítő X <−δ. выполняется неравенство f(x)> e.

Példa 2.2.4. A f (x) = c, x R (c R), van egy határ a

Tétel 2,31 (Heine). Ahhoz, hogy egy R volt a határ f függvény. X → R egy R, szükséges és elégséges, hogy bármely pontsorozat X n X \, konvergáló egy, a képek sorozata alatt f konvergálnak A.

Szükségszerűség. Legyen lim f (x) = A. meghatározottak limit

U, U a. X X ∩ U egy f (x) U A.

Ha a szekvenciát a pontok X \ hajlamos egy, létezik egy számot N, hogy x n U egy n> N. Ezért, f (x n) U A

ha n> N. alapján a meghatározási határ egy szekvencia R,

Arra a következtetésre jutottunk, hogy a lim f (x n) = A.

Megfelelősége. Tegyük fel, hogy bármilyen sorrendben pontok az X halmaz \, amely konvergál, a képek sorozata hajlamos A. határozottságát feltételezik, hogy a R. Predpo-

tételezzük fel, hogy egy nem a határ az f függvény a pont. Aztán ott

egy U környezete egy A pontot, hogy minden n N n -vicinity

pont létezik egy elem X n X \, amelyek esetében ez az f (x n) / U A. Világos, hogy lim x n = a és az f (x n) 6 → A, míg a X n X \, n n, X n → a. Ez az ellentmondás teszi teljessé a bizonyíték.

Cledstvie. Ha van egy sorozat. X n X \, n N, x n → egy olyan szekvenciát, és nincs határa, ez nem

Kapcsolódó cikkek

előző ◈ a következő