Az egyenletek egy egyenes vonal és sík térben
Bármilyen egyenletet az első fokú rokon, hogy koordinátái x, y, z
Ax + by + Cz + D = 0 (3.1)
meghatároz egy síkot, és fordítva: az egyes sík lehet a következő egyenlet szemlélteti (3.1), amely az úgynevezett sík egyenlet.
A vektor N (A, B, C), az ortogonális síkban nevezzük normál vektor a sík. Egyenletben (3.1), az együtthatók A, B, C egyidejűleg nem 0.
Különleges esetekben (3.1):
1. D = 0, ax + by + Cz = 0 - sík átmegy az origón.
2. C = 0, ax + by + D = 0 - sík párhuzamos a tengellyel Oz.
3. C = D = 0, ax + by = 0 - sík áthalad a tengely Oz.
4. B = C = 0, Ax + D = 0 - síkja párhuzamos síkban Oyz.
Koordináta síkok egyenletet: X = 0, Y = 0, z = 0.
Közvetlen térben lehet meghatározni:
1) a metszésvonala két síkban, azaz a. az egyenletrendszert:
.... 2) annak két pontot M1 (x1 y1 z1) és az M2 (x2 y2 z2), akkor egy egyenes vonalat, amely rajtuk keresztül, mivel az egyenletekben:
3) pont M1 (x1. Y1. Z1), a hozzá tartozó, és a vektor egy (m, n, p), s kollineáris. Ezután a vonal határozza meg az egyenleteket:
Egyenletek (3.4) nevezzük kanonikus egyenletek egy egyenes vonal.
Vektor útikönyv úgynevezett közvetlen vektor.
A paraméteres egyenletek a sor megkapjuk egyenlővé egyes kapcsolatok (3.4), a t paraméter:
Megoldása a rendszer (3.2), mint a lineáris egyenletrendszer a ismeretlenek x és y. Érkezünk egyenes egyenlete az előrejelzések vagy előre megadott egyenlet.
X = mz + egy, y = NZ + b. (3.6)
Egyenletekből (3.6) akkor megy a kanonikus egyenlete találunk z egyes egyenletet, és összehasonlítjuk a kapott értékeket:
Az általános egyenletek (3.2) akkor folytassa a kanonikus és a másik irányba, ha talál olyan pont a vonal és annak irányvektor n = [n1. n2], ahol n1 (A1 B1 C1 ..) és az N2 (A2 B2 C2 ..) - normál vektorok meghatározott síkok. Ha az egyik nevezők m, n és p az egyenletek (3.4), hogy egyenlő nulla, megfelelően a tört számlálója kell állítani egyenlő nulla, azaz a rendszer
egyenértékű a rendszer; egy vonal merőleges az x-tengely.
A rendszer egyenértékű a rendszer X = x1, y = y1; vonal párhuzamos a tengellyel Oz.
Példa 1,15. Costavte sík egyenlete, tudva, hogy az A pont (1, -1,3) az alapja a merőleges húznak a kiindulási síkjára.
Határozat. A feladat szerint vektor OA (1, -1,3) a normál vektor a sík, akkor annak az egyenlet felírható a
x-y + 3z + D = 0. Behelyettesítve a koordinátáit a pont (1, -1,3) tartozó síkra, azt találjuk, D: 1 - (- 1) +3 × 3 + D = 0 Þ D = -11. Így, X-Y + 3Z-11 = 0.
Példa 1.16. Tedd a sík egyenletét tengelyén átmenő Oz és alkotó azzal a síkkal, 2x + y- Z-7 = 60 0 szög.
Határozat. Egy sík tengelyén átmenő Oz, a következő egyenlet adja ax + by = 0, ahol A és B egyidejűleg nem nulla. Legyen B nem
értéke 0, A / Bx + y = 0. A képlet szerint a koszinusz a két sík között
Megoldása másodfokú egyenlet 3m 2 + 8m - 3 = 0, azt találjuk, a gyökerek
m1 = 1/3, m2 = -3, ami két sík 1 / 3x + y = 0, és -3x + y = 0.
Példa 1,17. Közvetlenül kanonikus egyenletek:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.
Határozat. Közvetlen kanonikus egyenletek:
ahol m, n, p - a koordinátáit az irányvektor egy egyenes vonal, x1. y1. z1 - bármely pont koordinátáit tartozó sort. Közvetlen készlet, a kereszteződésekben a két sík. Ahhoz, hogy megtalálja a pontot tartozó egyenes, fix egyik koordináta (a legegyszerűbb módja annak, hogy például x = 0), és a rendszer úgy dönt, hogy a rendszer hogyan lineáris egyenletek két ismeretlen. Így, legyen x = 0, akkor y + z = 0, 3y - 2Z + 5 = 0, y = -1, z = 1. A pont koordinátáit M (.. X1 Y1 Z1) tartozó adott vonalon, azt találjuk: M (0, -1,1). A vezetővonal vektort könnyen megtalálható, ha a szokásos vektorok síkok kiindulási n1 (5,1,1) és N2 (2,3, -2). majd
Kanonikus vonal egyenletek: x / (- 5) = (y + 1) / 12 =
= (Z - 1) / 13.
Példa 1,18. A gerenda meghatároz egy síkot 2x-y + 5Z-3 = 0, és x + y + 2z + 1 = 0, található két merőleges síktól, amelyek közül az egyik átmegy az M pont (1,0,1).
Határozat. gerenda meghatározó egyenletek ezek a síkok a formája u (2x-y + 5Z-3) + V (x + y + 2z + 1) = 0, ahol u és v nem tűnnek egyszerre. Beam rewrite egyenlet a következő:
(2u + V) x + (- u + v) y + (5U + 2V) z - 3U + v = 0.
Izolálni a gerenda átmenő sík M pont, mi helyettesítheti pont koordinátái M az egyenletben a fény. kapjuk:
(2u + V) × 1 + (-u + V) × 0 + (5U + 2v) × 1 -3u + V = 0 vagy v = - u.
Ekkor az egyenlet a repülőgép, amely M találunk helyettesítésével v = - u gerenda egyenlet:
u (2x-y + 5Z - 3) - u (x + y + 2z +1) = 0.
mert u ¹ 0 (egyébként v = 0, ami ellentmond a meghatározása a nyaláb), akkor van az egyenlet a sík X-2y + 3Z-4 = 0. A második síkban tartozó gerenda, merőlegesnek kell lennie. Írunk a feltétele merőleges sík:
(2u + V) × 1 + (v - u) × (-2) + (5U + 2v) × 3 = 0 vagy V = - 19 / 5u.
Ennélfogva, az egyenlet a második sík a forma:
u (2x -y + 5Z - 3) - 19/5 u (x + y + 2z +1) = 0 vagy 9x + 24y + 13z + 34 = 0.