Példák problémák megoldása
Példa 1. Számítsuk ki a sugara az első Bohr pályán és az elektron sebessége rajta a hidrogénatom.
Határozat. A sugara az n-edik rn Bohr pályán és sebesség elektron un rajtuk összekapcsolt első posztulátum Bohr egyenlet:
Ahhoz, hogy egy másik egyenlet összekötő érték un és rn. levelet Newton második törvénye a elektron mozog az intézkedés alapján a Coulomb erők vonzás körpályán sejtmagban. Tekintettel arra, hogy a mag a hidrogénatom egy proton, a felelős, amely egyenlő abszolút értéke az elektron töltése, tudjuk írni:
ahol m - az elektron tömege, - a normál gyorsulás. Döntés együtt (3.1) és (3.2) kapjuk:
Elhelyezés n = 1 Itt számítások elvégzésére:
Példa 2. Elektronikus hidrogénatom telt el a negyedik szint a második energiaszintre. Határozzuk meg az energia a kibocsátott foton, és így a hullámhossz.
Határozat. Annak megállapításához, a fotonenergia használatát soros hidrogén-ionokra képlet:
ahol # 955; - a foton hullámhossza; R - Rydberg állandó; Z - magtöltés önkényes egységekben (ha Z = 1 általános képletű válik képlet sorosan hidrogénatom); n1 - száma a pályára, amely az elektron eltelt; n2 - pályára száma, amellyel az elektron telt (n1 és n2 - a fő kvantum számokat).
fotonenergia E általános képlete
Ezért megszorozzuk mindkét oldalán (13,3), a hc. kifejezés egy foton energiája:
mert RHC ionizációs energia Ei hidrogénatom,
Tól (3.4) kifejezzük a foton hullámhossza
A számításokat végezzük, nem SI mértékegységek: Ei = 13,6 eV; Z = 1; n1 = 2; n2 = 4:
3. példa Egy elektron kezdeti sebességét, amely figyelmen kívül lehet hagyni átment a gyorsuló potenciális különbség U. megtalálni a de Broglie-hullámhossza az elektron két esetben: 1) U1 = 51 V; 2) U2 = 510 kV.
Határozat. De Broglie hullámhossza a részecske függ a p impulzussal és úgy határozzák meg a képlet
ahol h - Planck állandó.
Momentum egy részecske lehet meghatározni, ha tudjuk, hogy a mozgási energiát T. impulzus Kapcsolat a kinetikus energia különbözik a nem-relativisztikus esetben (amikor a mozgási energia a részecskék sokkal kisebb, mint a többi energia) és a relativisztikus esetben (amikor a mozgási energia hasonló a többi energiát a részecske).
A nem-relativisztikus esetben
ahol m0 - nyugalmi részecske tömege.
A relativisztikus esetben
Formula (3.5), figyelembe véve a kapcsolatok (3.6) és (3.7) felírható:
- a nem-relativisztikus esetben
- A relativisztikus esetben
Összehasonlítása a kinetikus elektron energia, amely átment a második készlet a feltétele a potenciális különbség problémát U1 = 51 V és U2 = 510 kV-os, az elektron nyugalmi energiája, és attól függően, hogy melyik a képletek (3.8) vagy (3.9) kell alkalmazni, hogy kiszámítani a hosszát de Broglie hullámok.
Mint ismeretes, a kinetikus energia elektronok halad a gyorsuló potenciális különbség U,
Az első esetben, T1 = EU1 = 51 eV = 10 -4 0,51 MeV, ami sokkal kisebb, mint elektron nyugalmi energia E0 = M0 = 0,51-2 MeV. Ezért, a képlet (3.8) lehet alkalmazni ebben az esetben. Az egyszerűség kedvéért a számítások megjegyezzük, hogy T1 = 10 -4 m0 C 2. Behelyettesítve ezt a kifejezést a (3.8), és átírni, formájában
Tekintettel arra, hogy a Compton-hullámhossza # 955;. kap
mert # 955; = 2,43pm, a
A második esetben, a kinetikus energia a T2 = EU2 = 510 keV 0,51 MeV, azaz Ez az elektron nyugalmi energiája. Ebben az esetben szükséges használni relativisztikus képletű (3,9). Tekintettel arra, hogy T2 = m0 = 0,51MeV a képlet 2. (3.9) találunk
helyettesítheti az értéket # 955; és számításokat végeznek:
4. példa mozgási energiája az elektron egy hidrogénatom nagyságrendű T = 10 eV. A határozatlansági reláció, értékelje mini-formális lineáris méretei az atom.
Határozat. Határozatlansági reláció a helyzet, és lendületet adott a
ahol Ax - a koordinátáit a részecske bizonytalanság (ebben az esetben elektronok); DRH - bizonytalanság részecske impulzus (elektron); - Planck-állandó.
A határozatlansági reláció következik, hogy minél pontosabban meghatározni helyzetét a részecske az űrben, a lendület válik bizonytalan, ezért az energia a részecske. Hagyja, hogy a atom van egy lineáris mérete l. akkor az elektron az atom lesz valahol a területen belül a bizonytalanság
A reláció (3.10) felírható ez esetben formájában
Fizikailag ésszerű drh impulzus bizonytalansága minden esetben nem haladhatja meg az értékét p az impulzus. azaz Drh £ p. Az impulzus Pi társított kinetikus energia T-cal aránya
. Cserélje drh érték (az ilyen helyettesítés nem növeli l). Megy az egyenlőtlenség az egyenlőség, megkapjuk
Mi ellenőrzi, hogy az így kapott általános képletű hozamok egységnyi hosszúságú. Erre a célra a jobb oldali (3.12) helyett karaktereket jelölnek helyettesítő mennyiségű egységek:
Talált egység egy egységnyi hosszúságú.
= 1,24 10 -10 m = 124 nm.
Az 5. példa a hullám funkció alapállapotú egy részecske egy végtelenül mély téglalap alakú doboz szélessége l, 3.1 ábra. Számoljuk a valószínűsége, hogy egy részecske egy kis intervallum Dl = 0,01l két esetben:
1) (a fal) (0 £ x £ dl);
2) a középső része a doboz ().