Bernoulli közelítési képlet
Az előfordulási valószínűsége legalább egy esemény.
Tegyük fel, hogy ennek eredményeként a vizsgálatok tűnhet n független események együttesen, vagy egy részük (a, különösen, csak egy vagy sem), a valószínűségét az egyes események ismert. Ahhoz, hogy megtalálja a valószínűsége, hogy bekövetkezik, legalább egy ilyen esemény, akkor a következő tétel.
4. tétel: annak a valószínűsége, legalább az egyik esemény. független együtt, egyenlő a különbség egységét, és a terméket a valószínűségi-felülettel átellenes felület események:
Bizonyítás: Jelölje A az esemény, amely a megjelenése legalább az egyik esemény. Események A és (egyik sem az események nem jött) szemben, tehát az összeg a valószínűségek egyenlő egység:
Ennélfogva ha a tétel a szorzás, megkapjuk
Speciális eset: ha az események ugyanolyan valószínűséggel megegyezik p annak a valószínűsége, legalább az egyik ilyen események
Tegyük most fel, hogy n független vizsgálatokban végzett állandó körülmények között, ennek eredményeként, amelyek mindegyike lehet vagy nem fordulhat elő egy esemény A. Tegyük fel, hogy minden egyes kísérlethez a valószínűsége az esemény jelentése azonos és egyenlő. Következésképpen, a valószínűsége az ellenkező esemény (nem előfordulása A) egyenlő.
Határozza meg a valószínűsége, hogy A esemény fordul elő m-szer ezekben n vizsgálatokban.
Ugyanakkor megjegyezzük, hogy az esemény vagy nem esemény Egy szekvenálhat különböző módokon. Egyetértünk abban, hogy írja le a lehetséges vizsgálatok eredményeit a levelek formájában és ezek kombinációi. Például a bejegyzés azt jelenti, hogy a négy vizsgálatban esemény valósul meg az 1. és 4. esetben nem teljesül a 2. és 3. esetben.
Minden kombináció, amely magában foglalja az időt, és ennek megfelelően tartalmazza a szükséges időt az úgynevezett kedvező. Száma kedvező kombinációk számával megegyező a módszereket, amelyek segítségével kiválaszthatja az adatok számát; így, ez egyenlő a kombinációk száma az n elem m. azaz
Most számítsuk ki a valószínűsége kedvező kombinációk. Tekintsük először azt az esetet, amikor az esemény bekövetkezik egy az első teszt, és így nem fordul elő a maradék kísérletek. Egy ilyen előnyös kombináció a következő:
Annak a valószínűsége, ez a kombináció révén függetlenségének vizsgálatok (a szorzás valószínűség tétel) van
Mint minden egyéb kedvező események kombinációja is előfordul újra, és az esemény újra megtörténjen, a valószínűsége minden egyes kombinációját is egyenlő. így
Minden kedvező kombináció nyilvánvalóan összeférhetetlen. Ezért, (alapján hozzáadásával valószínűségek axiómák)
Vagy ettől. az
Egyenlet (2.4) az úgynevezett Bernoulli képletű (Bernoulli (1654-1705) - svájci matematikus).
Mivel a valószínűségek különböző értékeket képviselnek a kifejezések bővítése a binomiális:
A valószínűség-eloszlás. hol. Ez az úgynevezett binomiális.
9. példa Annak a valószínűsége, ütő a cél egy lövés 0.6. Mi a valószínűsége annak, hogy a 8 felvétel így 5 eredmények
Használata képletű (2,4), van
Gyakran van szükség, hogy tudja, mi értéke valószínűségi a legnagyobb érték, azaz. E. van szükség ahhoz, hogy a legvalószínűbb az esemény bekövetkezése A ebben a kísérletsorozatban. Ha bizonyítani tudja, hogy a szám meg kell felelniük a kettős egyenlőtlenséget
Megjegyezzük, hogy a szegmensben. ahol fekszik. hosszúságú. Ezért, ha az egyik végén nem egész szám, végek között van egy egész szám, és egyedileg meghatározható. Ebben az esetben, ha mindkét végét - egészek, két legvalószínűbb érték és.
10. példa Annak meghatározására, a legvalószínűbb megtekintve cél az 1. példában.
Általános képlet szerint (2.5), a legvalószínűbb értéket fekszik a szegmens, és ezért egyenlő 5.
Bernoulli közelítési képlet
A nagy n valószínűségi számítás általános képletű (2,4) van társítva nehézkes számítások. Ebben az esetben, ez sokkal kényelmesebb a közelítő képletek.
1. Helyi képlet Moivre-Laplace.
amely nem nulla és az egység. és
Egyenlet (2.6) fejezi ki az ún helyi Laplace-tétel (Laplace (1749-1827) - francia matematikus és csillagász.). A pontossága ennek képletű együtt növekszik n.
Funkció (2,7), mint később látni fogjuk, játszik nagyon fontos szerepet valószínűségszámítás (lásd. Ábra. 2.1). Annak értékeit különböző értékei az érvelés is a függelékben található (lásd. Táblázat. I.). Ez a funkció a valószínűsége, hogy egy normális eloszlás (mi jön vissza rá). Amikor. . ezért úgy táblázatba funkció.
11. példa kockát dobja 80-szor. Határozzuk meg annak a valószínűsége, hogy a 3-as számú megjelenik 20 alkalommal.
Használata (15) képletű, megkapjuk
mivel táblázatban. Rájöttem, hogy.
2. Ha használ úgynevezett Poisson formula
12. példa A növény küldött 5000 jóindulatú termékeket. Annak a valószínűsége, hogy kitört egy darab az úton - 0,0002. Annak a valószínűsége, hogy az út lesz sérült:
c) legfeljebb három terméket.
Határozat. Jelenleg mind. tehát alkalmazni Poisson formula.
3. nagy értékek. kiszámításához a valószínűsége, hogy az esemény előfordulhat a kivágási program Bernoulli szerves képletet használjuk Moivre-Laplace:
- Laplace funkció (lásd. Ábra. 2.2.).
Laplace funkció fogjuk gyakran hivatkoznak, de most azt látjuk, hogy a következő tulajdonságokkal rendelkezik.
1) - páratlan funkcióval, ezért elegendő, hogy használja a nem-negatív értékeket;
2) növeli az egész valós tengelyen;
3). (- vízszintes asymptote at), így a funkció képviseli, mint egy táblázat (I. függelék);
4) annak a valószínűsége, a független vizsgálatokban relatív gyakorisága eltérés állandó valószínűsége nem több, mint egy szám egyenlő:
13. példa teljesül shooter lövések, a valószínűsége egy hit. Annak a valószínűsége, hogy ő kap a időre.
Határozat. Szerint beépített képlet
14. példa Az egyes független vizsgálati siker valószínűsége. Annak a valószínűsége, hogy a relatív előfordulási gyakorisága az esemény eltér az állandó valószínűsége abszolút értéke legfeljebb.
15. példa: Hányszor kell dobálják egy érmét a valószínűsége lehet számítani, hogy az eltérés a relatív előfordulási gyakorisága a címer a valószínűsége lesz az abszolút érték nem nagyobb, mint?
Határozat. Azzal a feltétellel. itt