Koordináta transzformáció az átmenetet egy új alapot - studopediya
Hagyja, hogy a n-dimenziós lineáris tér R n két bázisok: (régi) és az (új). Minden vektor tér R n leírható mint egy lineáris kombinációja alapján vektorok. Tegyük fel, hogy a vektorokat kifejezve alapján vektorok által képletek
úgynevezett átmeneti mátrix a régi és az új alapokon.
A determinánsa A jelentése nullától eltérő, mivel különben, által tétel 3.7 A sorok ennek a mátrixnak (és ennélfogva a alap vektorok) lenne lineárisan függ.
Megmutatjuk, hogy a fordított átmenet a régi és az új alapokon alapján révén a mátrix inverzét mátrix
A tétel 3,8, a mátrix V, inverz mátrix formában van
ahol jelöli a meghatározója a mátrix, és - a kofaktor az elem a mátrix A.
Szorzás egyenletet (4.1), illetve kofaktorok, ..., j-edik oszlopának eleme a meghatározó, majd adjunk hozzá az egyenletek. Az eredmény (bármely számú j. Egyenlő a 1,2, ..., n)
A összege termékek elemek edik oszlopban a megfelelő kofaktorokat az elemek j-edik oszlop nulla, ha a meghatározó (3.5 Tétel), és ha ez az összeg a terjeszkedés a meghatározó elemek j-edik oszlop (Tétel 3.4). majd
Egyenletek (4.3) felírható
Általános képletű (4,4) azt mutatják, hogy a fordított átmenet a bázis a bázis segítségével
mátrix B = A -1.
Keressük az összefüggést a koordinátákat a vektor különböző bázisok. Legyen x - tetszőleges vektor a tér R n; () - a hely a régi alapon () - a koordinátáit az új alapon, hogy a
Behelyettesítve a jobb oldalán (4,5) helyett a vektor expressziós, által meghatározott (4,1), megkapjuk
Az utolsó egyenletet egyediségét bővítések a következő képlet alapján megkapjuk az átmenet a koordinátákat az új alapot a koordinátákat a régi alapján:
Egyenlőség (4.6) is ábrázolhatjuk mátrix formában
ahol A és T (A -1) T - mátrix transzponáltját A mátrix és az inverz mátrix T rendre.
Példa. A meghatározottak alapján vektorok és. Mutassuk meg, hogy a vektorok alapot kell kifejezni a b vektor a bázis.
○ Háromdimenziós vektorok alapot, ha lineárisan függetlenek. Annak bizonyítására, a lineáris függetlenség vektorok, kiszámítjuk a meghatározója koordinátáit ezen vektorok:
A determináns nem nulla, akkor a vektorok lineárisan független, és alapját képezik. Fejezzük közötti kapcsolat alapjait:
Az átmenet mátrix alapján, hogy az alapja az űrlap
Számítsuk ki a fordított mátrix A -1 általános képletű (4,2), és megtalálják a transzponált mátrixszal (A -1) T:
Most az alábbi képlet szerint (4.7), azt találjuk, a koordinátáit b:
Ezek a koordináták a bázis vektorban b jelentése (0,5; 2; 0,5), és a B vektor lehet reprezentálni: