A transzformációs egyenletek - Az állami studopediya
Hagyja, hogy a rendszer által leírt egyenletek az állami általános formában (8,3). Mi itt az egyenletek változás változók x = QZ. ahol - az új állapot vektor, Q - tetszőleges dimenziós mátrix állandó együtthatós. az egyetlen korlátozást jelent a mátrix Q - meg kell nonsingular (nonsingular), azaz determinánsa ez a mátrix. Ebben az esetben mindig van egy inverz mátrix, amely jelöli. úgy, hogy. ahol - az identitás mátrix. Nyilvánvaló, ilyen körülmények között, van egy egyedülálló kapcsolat a vektorok x és z. . .
Az egyenletek (8,3), hogy a helyettesítés X = QZ, és figyelembe véve, hogy. megkapjuk
Egyenlet (8,8) lesz az új egyenletek állam, amelyekben egy bázikus mátrix rendszer. bemeneti és kimeneti C Q. Mivel Q - tetszőleges mátrixot, az eredeti egyenletek (8,3) felel meg, végtelen számú egyenértékű egyenletek állami (8,8).
Megjegyezzük, hogy a két mátrixok és. kapcsolódik a konverziót. elmondható, hogy hasonló. Az ilyen mátrixok azonos sajátértékek.
Egy lineáris transzformáció, akkor lehetséges, hogy jelentenek a probléma választotta a vizsgálat valamilyen formában állami egyenletek. Leggyakrabban ez megoldotta a feladatot a konvertáló az eredeti rendszer (8.3) a normális állapot, vagy kanonikus alakja (8.8) egyenletek.
Bebizonyosodott, hogy egy tetszőleges mátrix mindig egy nem szinguláris négyzetes mátrix. amely M-mel jelölt, és fogják hívni modális. oly módon, hogy a mátrix lesz formájában Jordán. Ha az A mátrix elkülönülő sajátértékek (számok). gyöke a karakterisztikus egyenlet
akkor a mátrix diagonális :.
Így, az átalakulás egy tetszőleges egyenletrendszer (8,3) a kanonikus formában mindig lehetséges. A legegyszerűbb feladat meghatározása a modális mátrixot megoldott az esetben különálló sajátértékei mátrix jelöli. Minden egyes sajátérték sajátvektora az oldat vektor-mátrix-egyenlettel
Mátrix által alkotott vektor-oszlopokat. azaz mátrix
a szükséges modális mátrix.
Összhangban (8.9), amikor a meghatározója a lineáris egyenletrendszer (8.10) nulla, azaz a A rendszerben van egy végtelen számú megoldást, amelyek mindegyike lehet venni, mint a saját vektor. Ennélfogva, a mátrix M nem egyedi.
Abban az esetben, többszörös sajátértékek A mátrix meghatározásának problémáját a modális mátrix lényegesen bonyolultabb.
Különösen, ha az eredeti mátrix egy olyan mátrix, Frobenius
faj
és sajátértékek. gyöke a karakterisztikus egyenlet
különböző, a modális mátrix lesz formájában
Példa 8.3. Legyen SAU, amely látható a példákban 8.1 és 8.2, c. akkor az egyenlet (8,7) lesz formájában
Mi átalakítani az állapotegyenlet a kanonikus formában. A fő mátrix a rendszer mátrix A jelentése Frobenius. Engedje meg, saját értékét a megoldásokat a karakterisztikus egyenlet
A gyökerek az egyenlet más lesz :. . Így, összhangban (8,14) meghatározza modális M mátrix és annak inverzét:
Tehát, az állapotegyenlet (8,15) úgy lehet átalakítani kanonikus formában:
8.4 példa:. Hagyja, hogy a rendszer által leírt egyenlet az állami
A gyökerek a karakterisztikus egyenlet. .
Találunk sajátvektorok megoldásával egy lineáris egyenletek. .
Elhelyezés. mi lesz
Az utolsó két egyenlet. hol, kérve, például. Kapjuk. Tehát, az első sajátvektor. Amikor végül, hogy meghatározzuk a koordinátákat a második sajátvektor szerezni. Elhelyezés. és mi lesz, ill. Így a mátrix M lehet választani formájában
Végül az egyenlet kanonikus formában az alábbiak lesznek: