Fourier-sor az online
A Fourier-sorok szakaszonként folytonos, szakaszonként monoton és korlátozott, hogy a tartomány (-l, l) funkció konvergál a teljes tengelyen.
Összege S (x) Fourier.
- Ez egy periodikus függvény időszak 2l. A funkció u (x) az úgynevezett periódusidővel T (vagy T-periodikus), ha minden x régió R, u (x + T) = u (x).
- a tartományban (-l, l) egybeesik az f (x), kivéve a töréspontokkal
- pontokon a diszkontinuitás (elsőrendű, mert a funkció korlátozott) az f (x) és fogadja az átlagérték a végén az intervallum:
.
Azt mondják, hogy a funkció expandáljuk a Fourier-sor intervallumban (-l, l) :.
Ha f (x) - még a funkció, a bővülés magában csak a páros funkció, azaz bn = 0.
Ha f (x) - páratlan funkciót, akkor annak expanziós magában csak a páratlan funkció, azaz = 0
Fourier-sor f (x) a (0; l) koszinusz több ívek a sorozat:
, ahol
.
Fourier-sor f (x) a (0; l) sine több ívek a sorozat:
, hol.
Az összeg a Fourier-sor koszinusz több ívek páros periodikus függvény időszak 2l. egybeesik az f (x) a (0; l) a folytonosság a pontokat.
Az összeg a Fourier-sor szinusz több ívek páratlan periodikus függvény időszak 2l. egybeesik az f (x) a (0; l) a folytonosság a pontokat.
A Fourier-sor egy adott funkció ezen a tartományon belül van egyediségét tulajdonság, azaz ha a tágulási kapjuk bármely más módszer, mint képlet segítségével, például a szelekció eszközeként, az együtthatók, ezek az együtthatók megegyeznek által számított képletek.
Példa №1. Elbontjuk f (x) = 1:
a) a teljes Fourier-sor intervallumban (-π, π);
b) egy sor Sine több ívek a (0; π); konstrukció egy grafikon, a Fourier-sor
Határozat.
a) A Fourier sorfejtés az intervallum (-π; π) a formája:
,
ahol valamennyi együtthatók Mrd = 0, mivel ez a funkció - még; így
Nyilvánvaló, hogy az egyenlőség akkor teljesül, ha veszünk
a0 = 2, a1 = a2 = a3 = ... = 0
Egyedisége miatt az ingatlan van a szükséges együtthatók. Ezért a kívánt expanziós: vagy csak 1 = 1.
Ebben az esetben, ha a szám megegyezik a szerepét, a grafikon a Fourier sor egybeesik a grafikon a számegyenesen.
b) Bomlási a (0; π) Sine több ívek a formája:
Válassza az együtthatók úgy, hogy az egyenlet teljesül azonosan nyilvánvalóan lehetetlen. Az általunk használt képlet együtthatók:
Így akkor is, n (n = 2k) van Mrd = 0 páratlan (n = 2k -1) -
Végül ,.
Készítünk egy grafikont Fourier-sor, kihasználva annak tulajdonságait (lásd. Fent).
Először is, építünk egy grafikonon ez a funkció egy előre meghatározott intervallumban. Ezután, páratlan összeg egy sor, továbbra is ütemezni szimmetrikusan eredetű:
Továbbra szakaszosan egész valós tengelyen:
Végül pont a diszkontinuitás töltse közeg (a bal és a jobb oldali korlát) értékek:
Példa №2. Elbontjuk függvényt a (0, 6) Sine több ívek
Határozat. Keresek terjeszkedés a formája:
Mivel a bal oldali és jobb oldalán amelyek csak a függvény sin különböző érveket, akkor ellenőrizze, hogy ugyanazt a bármely n esetén (természetes!) Sine az érvelés a bal és jobb oldalán a következő egyenletet:
vagy ahol n = 18. Ezért, ez a kifejezés tartalmazza a jobb oldali és az együttható is egybe kell esnie a együttható az balra: B18 = 1;
vagy, ahol n = 4. Ennélfogva, b4 = -5.
Így, a kiválasztás módja együtthatók sikerült a kívánt bővítése:
Példa №3. Bővült a Fourier-sor
Határozat. Először kiszámítjuk a T = 4 és ω = 2π / 4 = π / 2. Most azt látjuk,
Találjuk az első integrál
A második szerves részét veszi, kiválasztásával u = 3x, dv = cos (πnx / 2), majd a du = 3DX, v = sin (πnx / 2) / (πn / 2). kap
Így az N = 1, 3, 5. egy = 2 / (π 2 n 2). és n = 2, 4, 6 egy = 0.
Hasonlóképpen, azt látjuk,
Ennek eredményeként megkapjuk expanziós