Science Network anda előadássorozat lineáris algebra

19 Reduction tetszőleges transzformáció
A szokásos formája

Már említettük a 18.§, abban az esetben, ha az átalakulás nem elég lineárisan független sajátvektorok (vagyis amikor a szám kevesebb, mint a méret a tér), az alapja van, hogy kiegészítse a terhére úgynevezett társult vektor (a pontos definíció adható később ). Ez a rész egy építési módszerének alapját, ahol a transzformációs mátrixot egy Jordan normál formában. Ez alapján azt kell kideríteni, közvetlenül a saját és a kapcsolódó vektorok, és ez a módszer kiválasztása, bizonyos értelemben, a legtermészetesebb 4.4.

Let - átalakítása saját jelentőségét. Mi már használják ezt a meghatározást.

Definíció 19.1 A vektor neve megfelelő transzformációs vektor megfelelő sajátérték, ha

Tekintsük a készlet minden vektor megfelelhet az (1) rögzített. Nyilvánvaló, hogy ezek kombinációja vektorok altér.

Jelöljük meg. Könnyen belátható, hogy az invariáns az átalakulás (ellenőrizze!).

Megjegyezzük, hogy a altér álló összes sajátvektorai az átalakulás megfelelő sajátérték, majd az oldathoz egy másik nulla vektor.

19.2 meghatározása a vektort nevezzük egy csatolt vektort az 1.-transzformálása céljából, amely megfelel a sajátérték, ha a vektor

Ez egy megfelelő transzformációs vektort.

Let - saját konverziós érték.

Tekintsük a altér álló minden olyan vektor, amelyre a feltétel

azaz konverziós motor. Jelöljük ezt altér; Ez egy invariáns altér. Tény azonban, vagyis . Be kell bizonyítanunk, hogy a vektor, azaz hogy. De az átalakulás ingázik a, azaz a

Tekintsük részletesebben több a térszerkezet. Két típusú vektorok.

Ha, azaz , Akkor még inkább, és ez . Így teljes egészében tartalmazza. Ha azonban, hogy ez

majd - a kapcsolódó vektor az 1. sorrendben. Sőt, ebben az esetben azt a saját vektor.

Így a altér érjük el, hogy a szubtéri társított vektorokkal az 1. sorrendben.

Hasonlóképpen juttassunk altér minden vektor, amelyre

Ez altér invariáns transzformációk. Egyértelmű, hogy a tér tartalmaz egy altér előző.

Definíció 19.3 A vektort nevezzük adjoint vektor érdekében, ha a vektor

társult vektor sorrendben.

Az indukciós, meg tudjuk mutatni, hogy ha - a kapcsolódó vektor érdekében, akkor

Más szóval, a kapcsolódó vektorok érdekében úgynevezett vektor tartozó és nem tartozó.

1. példa Let - tere polinomok a konverzió foka és - levezetése:

Könnyen belátható, hogy van egy megfelelő értéket. Megfelelő sajátvektor. Keressünk erre átalakulás helyet. A meghatározás magában foglalja az összes polinomok, melyek, azaz a

Ez lesz minden polinomokként nem haladja meg. Associated vektorok polinomjai érdekében, a mértéke, amely pontosan megegyezik.

Ebben a példában a dimenzió az egyes altér és növekszik fel a növekedést. Altér van az egész teret, és ha meg akarjuk határozni, stb Mindezen ugyanaz lesz altér.

Szintén könnyen belátható, hogy ebben a példában. Ez abból a tényből következik, hogy minden polinom foka a származék a polinom foka.

Activity Annak igazolására, hogy a felvétel bármely lineáris transzformáció

Let - lineáris transzformáció, és - saját értékét. Megmutatjuk, hogy az első altér szigorúan növekszik a növekedés az index, majd, kezdve egy bizonyos számú, a növekedés megáll, azaz

(Lásd. Mivel ebben a bekezdésben példát).

Már megmutattuk, hogy minden altér tartalmaz, azaz hogy a növekvő számban az altér, és így azok a méretek, csak növeli.

Mivel a tér véges, akkor bizonyos először kapjuk, hogy (lásd. P gyakorlat.).

Megmutatjuk, hogy ebben az esetben, azaz, hogy további növekedését altér nem fordul elő.

Valóban, feltételezzük, az ellenkező, azaz, hogy a, de valamilyen 0 $ „width =” 44 „height =” 33 „> a altér szigorúan nagyobb, mint. Azután egy vektorba, hogy

Jelöli a vektor. Ezután az első az egyenletek (4) azt jelenti, hogy, míg a második, ami lehetetlen, mivel a altér és egybeesnek feltételezés.

Nos, nézzük - a saját értéke átalakulás. A legfontosabb eredménye ennek a szakasznak, hogy létrehozzunk egy invariáns altér álló összes sajátvektorok és kapcsolódó megfelelő vektorok ezt sajátérték.

Ezen túlmenően, a 3. szakaszban van szükségünk részletesebb szerkezetét. Nevezetesen, jelző altér álló vektorok csatolt érdekében, kaptunk egyre lánc invariáns altér

Minden tagja ennek a lánc különböző. A altér tehát minden vektorok, amelyek

azaz ez a kernel az átalakulás.

Transzformálása átalakítja egyes altereinek a lánc (5) a fenti.

Let - átalakítása saját jelentőségét. Ebben a részben bemutatjuk, hogy a tér bontható közvetlen összeg két invariáns altér, amelyek közül az első átalakítás csak egy sajátérték, a második pedig az átalakítás nem saját értékeit.

Az általánosság elvesztése nélkül, akkor feltételezhetjük, hogy.

Valóban, legyen. Tekintsük az átalakulás; Már megvan a maga értéke nulla 4.5. Az is világos, hogy az invariáns altér átalakulás és ugyanaz.

Tehát továbbra is úgy vélik, hogy az átalakulás megvan a maga értéke. Lássuk be állításunkat először a speciális esetben, amikor nincs hely a kapcsolódó vektorok ennek megfelelő sajátérték, sajátvektor, de csak 4,6.

Ki kell építeni a két invariáns altér direkt összege egyenlő. Ezek közül az első, amely saját egyedi érték, akkor megteszi a készlet minden sajátvektorok megfelelő sajátérték, más szóval, a lényege az átalakulás.

Mint egy második altér veszi a kép a helyet a konverzió, azaz a vektorhalmaz, mely végigfut az egész teret. Könnyen belátható, hogy minden egyes ilyen terek invariáns (ez bizonyított állítás 4. § 9).

Megmutatjuk, hogy azok a bomlás a teret a direkt összege. Mivel az összeg a kernel és a kép méreteinek bármely transzformáció (cm. A 4. igénypont §9), elegendő, hogy a kereszteződésekben ezeknek alterek nulla.

Tegyük fel, hogy nem ez a helyzet, azaz a legyen egy vektorba, hogy és. Azóta formában van

ahol - a vektort. Azóta

(7) egyenlet azt jelzi, hogy egy privát transzformációs vektort megfelelő sajátérték, és a (6) egyenlet tehát azt jelenti, hogy van csatlakoztatva egy első sorrendű vektor, megegyező sajátérték. Azt feltételeztük, hogy az átalakítás nem jár megfelelő vektorok a sajátérték.

Így ha bebizonyosodik, hogy a altereinek és nincs közös vektorok, kivéve a nullát.

Emlékezve arra, hogy az összeg a méretei a kép, és a kernel, kijutunk innen, hogy a tér felbontható egy direkt összege változatlan altér, és:

Megjegyzés A fenti bizonyítékok azt mutatják, hogy a kép és a kernel van egy kereszteződés, nem nulla akkor, ha az átalakulás csatlakozik vektorok megfelelő sajátérték.

Szétszerelt speciális esetben ad egy ötletet, hogyan kell elvégezni a bizonyítékot az általános esetben, ha van is társult megfelelő vektorok sajátérték. Ahol a altér túl szűk, és annak természetes hatására habosodik, minden kapcsolódó megfelelő vektorok sajátérték. A második altér így túl nagy 4.7.

Tehát, úgy Engedély 1. igénypont invariáns altér álló összes sajátvektorok és kapcsolódó vektorok az átalakulás megfelelő sajátérték. Mint emlékszünk, hogy ez az átalakulás a mag, azaz a áll minden olyan vektor, melyek

A második kifejezés az a direkt összege vesszük az altér - kép a tér ugyanazon átalakulás.

Könnyen belátható, hogy az is invariáns az átalakulás. Valóban, ha, hogy van, majd

azaz is tartozik.

Tétel 19.1 A tér bontható közvetlen összege változatlan altér és. Ebben altér áll, csak a sajátvektorok és a kapcsolódó megfelelő vektorok a sajátérték, és a szubtéri transzformációs reverzibilisen (azaz, nem egy sajátérték-átalakulás a altér).

Annak bizonyítására, az első állítás, akkor, mint a fenti konkrét esetben elég azt mutatják, hogy a kereszteződésekben a altér és nulla. Tegyük fel, hogy éppen ellenkezőleg, azaz legyen egy vektorba, hogy és. Azóta