A második módszer (a sajátértékei a hesseni mátrix) - studopediya
A mátrix G (x) dimenzió (n x n) akkor tekinthető pozitív definit, ha az összes sajátérték m1. m2, ..., mn pozitív lesz, azaz mj> 0 minden j = 1, 2, ..., n.
G (x) a mátrix tekinthető negatív határozott, ha a sajátértékek negatív, azaz, mj <0 для всех j = 1, 2,…, n .
Ha között sajátértékei G vannak mind pozitív, mind negatív, akkor a mátrix váltakozó, és a funkció - egy nem-konvex.
Annak megállapításához, a sajátértékei a karakterisztikus egyenlet kell megoldani:
ahol - az identitás mátrix négyzetes; det - jele a meghatározó.
Mátrix eltér a hesseni, hogy átlósan elrendezett szempontjából formájában.
Így egy kétdimenziós függvény f (x1, x2) a karakterisztikus egyenlet lesz formájában:
Sobstveenye értékek m1 és m2 jelentése a gyökerek a másodfokú egyenlet szokásos 2 m + b m + c = 0 generálódnak után meghatározó nyilvánosságra hozatal.
Például, hogy a függvény két változó:
Koordinátái véglet x * határozza megoldása az egyenletrendszer
Hesseni. Megoldása után a karakterisztikus egyenlet. azaz másodfokú egyenlet (2 - m) 2 - 1 = 0 kapunk sajátértékek m1 = 3, m2 = 1, azaz a mátrix G pozitív határozott. Ezért, f (x) függvény konvex és egy extrém pont x = (2,2) veszi a minimális érték f (x *) = -2.
Mindkét módszer ellenőrzésére elegendő és szükséges feltételeket extrémuma a másodrendű táblázatban mutatjuk be a 4.2.
Példa 4.4. Keresse meg a szélsőérték a funkciót E 2.
Határozat. 1. Írja le a szükséges feltételeket extrémuma az elsőrendű:
Ennek eredményeként az oldat kapunk egy stacioner pont x * = (0,0).
2. ellenőrzi, hogy elégséges feltételek szélsőérték.
Első módszer: a hesseni mátrix formájában .tak hasonlók M1 = 2> 0. akkor a pont x * egy helyi minimum (1. sor a 4.2 táblázat).
A második út: Keressük sajátértékei a hesseni mátrix segítségével (4.10):
Ezért. Mivel az összes sajátérték pozitív, akkor a pont x * egy helyi minimum (line 1 táblázat. 4.2). Példa 3.3, hogy szigorúan konvex függvény E 2. Ezért a helyi minimális pont az a pont a globális minimum (a 3. igénypont szerinti, Tétel 3.1).
3. értékének kiszámításához a függvény egy globális minimum: f (x *) = 0.
Példa 4.5. Keresse meg a szélsőérték a funkciót E 2.
Határozat. 1. Írja le a szükséges feltételeket az elsőrendű:
Ennek eredményeként az oldat kapunk egy stacioner pont x * = (0,0).
2. Ellenőrizze, hogy elégséges feltételei szélsőérték és a szükséges feltételeket a másodrendű.
Az első út: A Hessian mátrixot kap. Mivel M1 = 2> 0. dostatochnyoe a optimalitási feltételek nem teljesülnek (1 és 2 vonalak 4.2 táblázatban). Teljesítésének ellenőrzéséhez szükséges feltételek a másodrendű.
Principal kiskorúak elsőrendű (m = 1) kapunk M2 törlésével n - m = 2 - 1 = 1 sorok és oszlopok, az azonos számú - 2, 2. A fő Minor másodrendű (m = 2) nyerik M2 törlésével n - m = 0 sorok és oszlopok, azaz Ez egybeesik az M2. -4. Ebből következik, hogy a szükséges feltételek a másodrendű szélsőérték nem teljesült (3 és 4 vonalai 4.2 táblázatban). Mivel a Hesszeni mátrix nem nulla, arra lehet következtetni, hogy azon a ponton, x * nincs szélsőérték (6-os vonal a 2.1 táblázatban).
Criterion érvényesítése szükséges és elégséges feltételei a másodrendű a probléma megtalálni a feltétel nélküli szélsőérték