• Szabályos sokszögek • Haidart Nurligareev népszerű tudományos feladatokat az „elemek» •

Tehát, már tudjuk, hogyan kell felépíteni egy egyenlő oldalú háromszög és egy ötszög. Helyezni őket egy kört, ábrán látható. 7 (hogy van egy közös vertex). Ha a késleltetés az A csúcs a köríven, hogy az ív BE. akkor megkapjuk a csúcsok egy szabályos 15 oldalú sokszög. Valóban, a hossza a körív AB 1/3 a kerülete, az ív hossza AE 2/5 a kerülete, majd az ív hossza = AE BE - AB 2/5 - 1/3 = (6-5) / 15 = 1/15 a kerülete.

utószó

Építőipari problémák nyomon követni a történelem az ősi időkben. A jobb dolog lenne azt hinni, hogy ezek az azonos korú, mint az összes geometria, mint tudomány, mint egész, mivel úgy tűnt, hogy tartalmazza a szellem a tudomány, egész lénye. De során fénykorában talán eljött a nap, az ókori Görögország. A leghíresebb építési problémák straightedge és iránytű kell tekinteni a probléma kockakettőzés. harmad a szög és a kör négyszögesítése. És ez nem véletlen: mindegyikük volt felbecsülhetetlen hatást gyakorolt ​​a matematika fejlődése, nemcsak az ősi időkben, de a következő évezredek során. Ez történt nagyrészt annak a ténynek köszönhető, hogy egyikük sem tudja a megoldást. És hogy bebizonyítsam, hogy nem lehet egy konstrukció - ez a feladat gyakran egy nagyságrenddel nehezebb, mint egy példát szükséges receptet. „Proof of bizonytalanságának” igényelnek komolyabb matematikai apparátus. Mint például nem volt az Arsenal az ókori görögök és amely által kifejlesztett legerősebb tudósok a modern időkben a XVIII-XIX században. Részben azért, mert az ismert ősidők óta, és nem sikerült megoldani, amíg az idő feladatokat.

A probléma az építési szabályos sokszög (másik - azonos - a készítmény ezt a problémát a szétválás a kör) foglal a történelem, a matematika, legalább egy hely a becsület, hanem a fent említett három. Ez szükséges, hogy össze egy szabályos sokszög egy adott számú oldala van, vagy ami ugyanaz, ossza a kerülete egy adott számú egyenlő részre.

A régiek tudták, hogyan kell építeni a derékszögű háromszög, négyszög, ötszög, pyatnadtsatiugolnik, és ezeket az adatokat származnak ezek az egymást követő megduplázódása a felek. Az építőiparban a többi sokszög már régóta túl van az emberi képességeket, hogy gyakori volt a hit, hogy lehetetlen, hogy építeni semmit említettől eltérő, hogy a végén a XVIII.

Még meglepőbb volt az a felfedezés tette 1796-ban a német matematikus, Carl Friedrich Gauss. Akkoriban ő még csak 19 éves, de már rengeteg tapasztalattal és széles látókörű, a tudomány területén, amely később az úgynevezett elmélete számokat. „A kitartás, amellyel Gauss követte választott út, gyors fiatalkorban jelentkező, akitől minden alkalommal, nem mindennek ellenére, hogy felszámolja a legmeredekebb emelkedőket, ami a cél, ezek kemény próbatételek edzett erejét, és tette képes, miután megnyerte az akadályokat, már megszűnt a másik, ellenállhatatlanul előrelépni, megelőzve őket „- írta a fiatal tehetség sokkal később, egy másik nagy német matematikus, Felix Klein. Tény, hogy megfosztják a lehetőségtől, hogy megismerjék a legújabb tudományos kutatások, Gauss csinál egy hatalmas számítási munka, amely bemutatja a csodák szorgalmával. Mint egy gyerek volt lenyűgözte a tiszta művészet fiókot. „Ennek köszönhetően állandó gyakorlat az intézkedések a számok, például jegyig hihetetlen karakterek száma, ez nem csupán a lenyűgöző virtuozitás a számlálási technika, ahol volt híres az egész élete, de a memória rendelkezett ilyen hatalmas számbeli anyag válik olyan gazdag tapasztalat és a széles látókörű terén a számok, hogy van alig volt valaki előtt vagy utána „(Klein). 1795-ben a szenvedély a számok csak felerősödött. Gauss létre nagy táblák telíti kvadratikus maradékok és a nem-maradékok, kifejezi egy töredéke a forma 1 / p p = 1 és p = 1000 decimális törtek, ami a kiszámítása a teljes időszakban.

Őszén Gauss 1795-ben belépett a University of Göttingen (de járt először, elsősorban előadások filológia, amelyet aztán az érdekelt neki annyi matematika). Ezzel párhuzamosan folytatta saját kutatás tekintetében elméletét a „primitív gyökerek”. Aztán egy nap, bemutatását követően a Klein, „kelj fel, hirtelen rájött tisztán és világosan, hogy elmélete feltételezi épület heptadecagon. Ez az esemény volt a fordulópont az életében Gauss. Úgy dönt, hogy szentelje magát nem filológia és matematika csak. "

Mi magyarázza mik az alapjai az elmélet primitív gyökerek. Amint azt már említettük, az egyik a matematikai szórakoztató Gauss a következő volt. Ő osztotta 1 különálló prímszám p. egymást írásban tizedessel és várja, mikor meg kell ismételni. Gauss nem zavarta, hogy néha meg kellett várni sokáig: például p = 97 ismétlés kezdődött 97 értékű számokkal, és p = 337-337-én. Így lépett a titokzatos világ a számok.

Először is, hadd vegye figyelembe, hogy a Gauss soha nem várt hiába - ismétlődő időközönként számok egy bizonyos ponton mindig elindult. Itt van, hogyan lehet magyarázni. Jelek kezdik meg kell ismételni, amikor a többi az előző lépésben eggyel egyenlő. Ezért, ha k - időszakban, (10 k - 1) osztható p. Mivel maradékok, amikor elosztjuk p végső térfogat (mindegyik 1 és p - 1), akkor bármely k1> k2 és számok, amikor elosztjuk p ad maradéka azonos. Ezután (- 1) osztható p.

Be tudjuk bizonyítani, hogy k is mindig figyelembe (p - 1). Ezt fedezték fel Farm (és így a megfelelő nyilatkozat az úgynevezett Kis Fermat-tétel), majd újra felfedezte a Gauss. Gauss érdekelt legkisebb k. amelyekre (10 k - 1) osztható p. Néha egybeesik a (p - 1), néha - nem, de mindig osztója (p - 1).

A következő lépés - helyére 10 amelyek tetszőleges számú a. amely nem osztható p. Gauss kérték, amikor (a k - 1) nem osztható p, semmilyen k

Az első öt prímszám, kivéve a hét, ez egy primitív gyökér két (a hét - egy tripla). Általánosságban azonban elmondható, kis primitív gyökerek egy kicsit. A huszadik század közepéig, mert bebizonyosodott, hogy van egy állandó C. hogy végtelen sok prímszám p egyenlőtlenség gp> C ln p (gp itt - többek között a legkisebb primitív gyökerek p). Sőt, lehet bizonyítani, hogy minden pozitív egész szám M végtelen sok prímszám kielégítik a M , a gp

Most viszont, hogy kidolgozásának lehetőségét, heptadecagon. Vázolása röviden bizonyítéka Gauss, a következő pontokat. Először is, felmerül a kérdés: meddig szegmens építhet vonalzóval és iránytű? Láttuk, hogy ha kapnak hosszúságú szegmenst a. b és c. építhet hosszúságú szegmenst (a + b) | a - b | ,,. Azaz, ha azt feltételezzük, hogy az eredeti a rendelkezésünkre áll egy olyan szegmense egységnyi hosszúságú, akkor kap azokban a szegmensekben, amelynek hosszúsága másodfokú irracionális. Ez azt jelenti, hogy a kapott hossza a szegmensek is kifejezhető véges számú egység műveletek összeadás, kivonás, szorzás, osztás és a négyzetgyök. Nincs más szegmenseket nem lehet beépített (durván, mert a vonal által meghatározott lineáris egyenlet, és a kör - négyzet).

Ha azt akarjuk, hogy bekerüljenek a körön heptadecagon, meg kell tanulnunk, hogy létrejöjjön az oldalán. A hossza az oldalán. Így szükséges feltétele a lehetőséget az épület heptadecagon másodfokú irracionális szám. Ugyanez a feltétel elégséges lenne, hogy van, ha bizonyítja, hogy a szám által kifejezett véges számú műveleti egységek összeadás, kivonás, szorzás, osztás és négyzetgyök, majd be egy explicit építése nem szükséges - ez lesz automatikus.

Következő megfontolás: 17 sokszög csúcsainak lehet azonosítani a komplex gyökerei az egyenlet z = 17 1, amely egyenértékű az egyenlet (z - 1) (. Z 16 15 + z + + z + 1) = 0. csoportosításával gyökerei z + z 16 15 +. + Z + 1 = 0 egy bizonyos módon, hogy lehetséges, hogy csökkentsék azokat a gyökerek a másodfokú egyenlet lánc. Mivel a komplex egységgyök megszorozva viselkedik pontosan ugyanaz, mint a maradványok az osztás 17. Ezenkívül keretében ez a csoport lehet venni azt a tényt, hogy a 3-as számú primitív gyökér egy prímszám 17. Ez pontosan mit tettek a fiatal Gauss . Vegye figyelembe, hogy kitalálni, hogyan kell csoportosítani a gyökerek, hogy elérjék a kívánt eredményt, ismerete nélkül az alapokat az elmélet a primitív gyökerek szinte lehetetlen.

Hasonlóképpen, Gauss megállapították, hogy a szám egy kvadratikus irracionalitás, ha a prímszám p + 1 formában van (ilyen számokat nevezik Fermat számok). Ezen kívül meg kell állapítani, hogy ha lehet építeni a megfelelő p és q-gon-gon különböző prímszám p és q. lehet kapni, és jobb PQ-gon. Ez úgy történik, ahogy mi épült pyatnadtsatiugolnik alapuló háromszög és egy ötszög. Gauss gyanúja, hogy más prímszám p. dovletvoryayuschih ezt a feltételt, nem. De ez szigorúan sejtés beigazolódott csak 1836-ban, Pierre-Laurent Pierre Wantzel. Így a végső megoldást a problémára építésének szabályos sokszög:

Gauss tétel-Pierre Wantzel. szabályos n-szög alkalmazásával szerkeszthetünk iránytű és vonalzó akkor és csak akkor, ha az n szám képviseli formájában n = 2 k p1. pm. ahol p1. pm - különböző prímszám Farm.

Gauss maga, úgy tűnik, úgy a felfedezés a lehetőséget az épület heptadecagon vonalzó és iránytű egyik legfontosabb eredménye. G. Weber írja: „Azt mondják, hogy Archimédesz hagyományozta építeni sírját emlékmű formájában egy gömb és egy henger az emlék, amit ő talált az arány a henger térfogatának és a beírt gömb - 3: 2. Mint Archimedes, Gauss kifejezte azon kívánságát, hogy az emlékművet a sírjára tette halhatatlanná semnadtsatiugolnik. Ez azt mutatja, milyen fontos, hogy csatlakozik az általa felfedezett Gauss. Gauss sírkövén ez a szám nem szerepel, de a felállított emlékmű Gauss Brunswick, áll egy emelvényen semnadtsatiugolnom azonban alig észrevehető, hogy a nézőt. "

Emlékmű a Gauss Braunschweig egy képet rajta 17-beam csillagos

Meg kell jegyezni, hogy fontos az elmélet Gauss primitívek gyökerei, amelyek később kulcsszerepet játszott a kutatás matematikusok, mint Galois, NH Abel, és mások. A kapott eredmények között segítségével a legismertebb tétel a kifejezhetetlenségét gyökök gyökerei polinomok az ötödik és nagyobb mértékű.

A mai világban, a legnagyobb érdeklődés a használata az elmélet primitív gyökerek titkosítás. Ez alapján diszkrét logaritmus probléma. A legegyszerűbb esetben az, hogy megtaláljuk a természetes szám x. hogy a x b a fennmaradó után osztás p. Kívánt x érték az úgynevezett index B az alapelem egy. Abban az esetben, ha egy primitív gyök p. az index garantáltan létezik. Azonban annak kiszámításához a nagy számok p gyakran nagyon-nagyon nehéz. Ezért a probléma a diszkrét logaritmus alapú nyilvános kulcsú titkosítás.