relatív prím
Viszonylag fix.
Tekintsük a tulajdonságok relatív prím számokat.
Tétel 2.9. Egész számok relatív prím, ha, és csak akkor, ha az egységet képviselt lineáris kombinációjával ezek egész számok.
Bizonyítás. Ha a számok relatív prím, akkor a legnagyobb közös osztó egység által képviselt Tétel 2,5 formájában egész szám egy lineáris kombinációja ezeket a számokat.
Ezzel szemben, ha az egység jelölhető szerves lineáris számkombináció alapján Proposition 2.6, az egység a legnagyobb közös osztó ezeket a számokat. Ezért, a számok relatív prím.
Állítás 2.10. Egészek relatív prím, ha és csak akkor, ha nincs közös prímosztója.
Bizonyítás az olvasónak.
Tétel 2.11. Ha egész osztja a termék két egész szám, és elsődleges az egyik tényező, hogy megosztja a többi tényező.
Bizonyítás. Hagyja, hogy a és b számok relatív prímek és megosztottságot. Megmutatjuk, hogy egy osztja c. Mivel a és b számok relatív prímek, vannak egész számok úgy, hogy
Megszorozzuk mindkét oldalán c, megkapjuk. Továbbá, mivel felosztja, és ezért oszt, t. E. A oszt.
Állítás 2.12. Közös osztó d egészek nem mind nulla, akkor és csak akkor van a legnagyobb közös osztó, ha a számok relatív prímek.
Bizonyítás. Lévén, hogy a hipotézist, hogy nem minden szám egyenlő nullával, akkor. Ha d a legnagyobb közös osztó a számokat, majd a tétel 2,5 lehet lineárisan kifejezve
ahol - egészek. Elosztjuk mindkét oldalról d, megkapjuk
Szerint ezért Állítás 2,9, ebből következik, hogy a számok relatív prím.
Ezzel szemben, ha a számok relatív prím, majd Proposition 2.9, vannak olyan egész szám úgy, hogy a következő egyenlet (2). Szorzása mindkét oldalán az egyenlet által d, azt kapjuk, (1). Mivel a közös osztója d számok képviselik, mint egy lineáris kombinációja ezeket a számokat, majd a Tétel 2.6 száma d a legnagyobb osztója