racionális szám
Kezdjük néhány definíciót. Polinomja n-ed-fokú (vagy n-edik-sorrendben) lesz az úgynevezett kifejeződése formájában $ P_n (x) = \ sum \ limits_ ^ a_x ^ = a_x ^ + a_x ^ + a_x ^ + \ ldots + a_x + a_n $. Például, a kifejezés $ 4x ^ + 87x ^ 2 + 4x-11 $ egy polinom, amelynek mértéke 14 $ $. Meg lehet leírni a következőképpen: $ P_ (x) = 4x ^ + 87x ^ 2 + 4x-11 $.
Az arány a két polinom $ \ frac $ nevezzük racionális függvény, vagy egy racionális szám. Pontosabban, ez egy racionális függvény egy változó (azaz változó $ x $).
Rational frakció az úgynevezett helyes. ha $ n Jelölje meg a alább felsorolt racionális frakciók. Ha a frakció egy racionális, majd meghatározni a helyes-e vagy sem. 1) Ez a frakció nem racionális, mert tartalmaz $ \ sin x $. Racionális függvény nem teszi lehetővé ezt. 2) Van egy aránya két polinom: $ 5x ^ 2 + 3x- $ 8 és $ 9 ^ 11x + 25x ^ 2-4 $. Ezért, definíció szerint, kifejezése $ \ frac $ egy racionális szám. Mivel a polinom foka a számlálóban egyenlő $ 2 $, és a polinom foka a nevező $ 9 $, ez a frakció helyes (a $ 2 <9$). 3) A számláló és a nevező a frakció található polinomok (faktorizáció). Mi nem számít, hogy milyen formában bemutatott polinomjai számláló és a nevező: terjedtek ki faktorok, vagy sem. Mivel van egy aránya két polinom, akkor definíció szerint a kifejezés a $ \ frac (15x ^ + 9x-1)> $ egy racionális szám. Annak érdekében, hogy válaszoljon a kérdésre, hogy ez egy valódi törtet, akkor meg kell határoznia a polinom foka a számlálóban és a nevezőben. Először is a számláló, azaz expressziós $ (2x ^ 3 + 8x + 4) (8x ^ 4 + 5x ^ 3 + x + 145) = 9 (5x ^ 7 + x ^ 6 + 9x ^ 5 + 3) $. Mértékének meghatározására e polinom, persze, hogy nyissa ki a zárójelbe. Ugyanakkor ésszerű, hogy nem sokkal könnyebb, mert mi érdekli csak a legmagasabb fokú a változó $ x $. Mi választjuk ki az egyes tartó változó $ x $, hogy a legnagyobb mértékben. Of $ zárójelben (2x ^ 3 + 8x + 4) $ vegye $ x ^ 3 $, a $ konzolok (8x ^ 4 + 5x ^ 3 + x + 9) = 9 $ vegye $ (x ^ 4) = 9 = X ^ = x ^ $, $ és a konzolok (5x ^ 7 + x ^ 6 + 9x ^ 5 + 3) választhat $ $ x ^ 7 $. Aztán a legnagyobb mértékben bővült, változó $ x $ lesz: A polinom foka, amely található a számláló 46 $ $. Rátérve a nevező, azaz a az expressziós $ (5x + 4) (3x ^ 2 + 9) ^ (15x ^ + 9x-1) $. A mértéke a polinom úgy definiáljuk, mint az ugyanolyan, mint a számláló, azaz A nevező a polinom 41-ed-fokú. Mivel a mértéke a számláló (azaz, 46) nem kisebb, mint a polinom foka a nevezőben (azaz, 41), a racionális frakciót $ \ frac (15x ^ + 9x-1)> $ helytelen. 4) A tört számlálója $ \ frac $ a szám $ 3 $, azaz polinom foka nulla. Formálisan, a számláló felírható: $ 3x ^ 0 = 3 \ cdot1 = 3 $. A nevezőben van egy polinom, amelynek mértéke megegyezik a $ 6 \ cdot 4 = 24 $. Az arány a két polinom egy racionális frakciót. Mivel $ 0 <24$, то данная дробь является правильной. Válasz. 1) nem racionális frakció; 2) a racionális frakciót (helyes); 3) racionális frakció (hibás); 4) a racionális frakciót (jobbra). Most viszont, hogy a koncepció elemi frakciókat (ők is egyszerűen csak racionális frakciók). Négyféle elemi racionális függvények: Comments (kívánatos teljesebb megértése a szöveget): Show \ elrejtése Miért van szükség a feltétellel $ p ^ 2-4q <0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q <0$ означает, что $D <0$. Если $D <0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует. Például, a kifejezés a $ x ^ 2 + 5x + $ 10 megkapjuk: $ p ^ 2-4q = 5 ^ 2-4 \ cdot $ 10 = -15. Mivel $ p ^ 2-4q = -15 <0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители. Mellesleg, ezt a vizsgálatot nem szükséges, hogy az együttható a $ x ^ 2 $ egyenlő 1. Például, egy $ 5x ^ 2 + 7x-3 = 0 megkapjuk $: $ D = 7 ^ 2-4 \ cdot 5 \ cdot (-3) = $ 109. Mivel $ D> 0 $, majd az expressziós $ 5x ^ 2 + 7x-3 $ felbontható a tényezők. A kihívás ez: mivel a megfelelő racionális frakció kifejezett összege elemi racionális frakciók. E probléma megoldására, és elkötelezett a bemutatott anyag ezen az oldalon. Először meg kell győződnie arról, hogy a következő feltétellel: a polinom a nevezőben a megfelelő racionális frakció szerepeljenek oly módon, hogy jelentette expanzió tartalmaz egy tartót az űrlap $ (xa) ^ n $ vagy $ (x ^ 2 + px + q) ^ n $ ($ p ^ 2-4q <0$).Грубо говоря, это требование означает необходимость максимального разложения многочлена в знаменателе, т.е. чтобы дальнейшее разложение было невозможно. Только если это условие выполнено, то можно применять такую схему: Ha Áltört mielőtt a fenti séma kell osztani azt az összeget az egész rész (polinom), és a megfelelő racionális frakció. Hogy pontosan ez történik, mi kell érteni később (lásd. Példa №2 para 3). Néhány szó a betűk a számláló (azaz $ A $, $ a_1 $, $ C_2 $ és hasonlók). A leveleket fel lehet használni bármilyen - az ízlése. Ami fontos, hogy ezek a levelek más volt minden elemi frakciók. Ahhoz, hogy megtalálja az értéke ezeknek a paraméterek alkalmazott módszer a meghatározatlan együtthatók vagy értékekkel részleges helyettesítés módszerrel (lásd. Példák №3, №4 és №5). Bomlanak meghatározott racionális frakció be elemi (anélkül, hogy megtalálta paraméterek): 1) Van racionális szám. A számlálója ez a frakció egy polinomja 4. fokozat, és a nevező polinom foka egyenlő $ 17 $ (hogyan kell meghatározni a részletek bekezdésben kifejtettek №3 például №1). Mivel a mértéke a számláló polinom foka kisebb, mint a nevezőben, ez a frakció helyes. Utalva namenatelyu ebben a frakcióban. Először is zárójelben $ (X-5) $ és $ (x + 2) ^ $ 4, amelyek kezelésére a forma által $ (X-a) ^ n $. Ezen kívül, egyre több és zárójelek $ (x ^ 2 + 3x + 10) $ és $ (x ^ 2 + 11) = $ 5. Expression $ (x ^ 2 + 3x + 10) formájában van $ $ (x ^ 2 + px + q) ^ n $, ahol $ p = 3 $; $ Q = 10 $, $ n = 1 $. Mivel $ p ^ 2-4q = 9-40 = -31 <0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Обратимся ко второй скобке, т.е. $(x^2+11)^5$. Это тоже скобка вида $(x^2+px+q)^n$, но на сей раз $p=0$, $q=11$, $n=5$. Так как $p^2-4q=0-121=-121 <0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Итак, мы имеем следующий вывод: многочлен в знаменателе разложен на множители таким образом, что оное разложение содержит лишь скобки вида $(x-a)^n$ или $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q <0$). Теперь можно переходить и к элементарным дробям. Мы будем применять правила (1)-(4). изложенные выше. Согласно правилу (1) скобке $(x-5)$ будет соответствовать дробь $\frac$. Это можно записать так: A szabály szerint (2) konzol $ (x + 2) ^ 4 $ fog egyezni az összeg a négy frakció $ \ frac + \ frac + \ frac + \ frac $. Én hozzá ezt az összeget a meglévő lebomlás: A szabály szerint (3) tartó $ (x ^ 2 + 3x + 10) $ felel meg egy frakció $ \ frac $. Töltse ki ezt a frakciót elbontására: És végül, a szabály alapján (4) tartó $ (x ^ 2 + 11) = $ 5 lesz összegének felel meg az öt frakciók $ \ frac + \ frac + \ frac + \ frac + \ frac $. Én hozzá ezt az összeget a meglévő bomlás és a probléma megoldódik, minden zárójelben a nevező kimerítették: 2) Van egy racionális szám. A mértéke a számláló (azaz, 2) kisebb, mint a polinom foka a nevezőben (azaz, 9), így ez a frakció - helyes. Utalva a nevező. Konzol $ (X-2) ^ 3 $ alá esik típusú $ (X-a) ^ n $, ezért tovább. Konzol $ (x ^ 3-8) $ nem esik formájában $ (X-a) ^ n $, vagy a formában $ (x ^ 2 + px + q) ^ n $. Ez azt sugallja, hogy a konzol $ (x ^ 3-8) $ tényezőként kell. Ezek a dolgok könnyen megoldható, ha felidézzük a kocka különbség képlet: Konzol $ (X-2) esik a nézetet $ $ (X-a) ^ n $. Konzol $ (x ^ 2 + 2x + 4) formájában van $ $ (x ^ 2 + px + q) ^ n $, ahol $ p = 2 $, $ q = 4 $, $ n = 1 $. Ebben az esetben a $ p ^ 2-4q = 4-16 = -12 <0$, посему дальнейшее разложение невозможно. Итак, $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$, поэтому знаменатель станет таким: Gyerünk. A következő konzol a sorban - ez a $ (3x + 5) $. Ez konzol alá ugyan formájában $ (X-a) ^ n $, ha nem az arány $ 3 $ $ x $. Úgy döntött, hogy három konzol: $ (3x + 5) = 3 \ cdot \ left (x + \ frac \ right) $. A nevező most átalakul a következőképpen: Most van itt az ideje, $ konzolok (3x ^ 2-x-10) $. Ő esett volna alá formájában $ (x ^ 2 + px + q) ^ n $, ha nem a "extra" faktor $ 3 $, hogy $ x ^ 2 $. Ezen kívül a konzol $ (3x ^ 2-x-10) $ felbontható a tényezők, milyen könnyen belátható, döntés a megfelelő másodfokú egyenlet: Mivel $ 3x ^ 2-x-10 = 3 \ cdot \ left (x + \ frac \ right) (x-2) $, akkor a nevező lesz: $$ 3 \ cdot (X-2) = 4 (x ^ 2 + 2x + 4) \ left (x + \ frac \ right) (3x ^ 2x-10) = 9 \\ = \ cdot (x-2 ) = 4 (x ^ 2 + 2x + 4) \ left (x + \ frac \ right) \ left (x + \ frac \ right) (x-2) = 9 \ cdot (X-2) 5 (x ^ 2 + 2x + 4) \ left (x + \ frac \ right) ^ 2 $$ És most a kezdő lövés maga ez: Most már közvetlenül a bázikus frakciókat. Eljáró ugyanúgy, mint lépésben №1 ennek van például: 3) Van racionális szám. Mogochlena foka a számláló (azaz 5) nem kisebb, mint a mértéke a polinom znmenatele (azaz, 3), ezért ez a frakció nem megfelelő. Következésképpen, mielőtt ez a racionális frakciót bomlanak elemi, osztja egész részét (polinom). Ehhez osztjuk polinom található a számlálóban a nevező polinom. A módszer részleg „terület”.
Ez az eredmény felírható a következőképpen:
Töredék $ \ frac $ egy megfelelő racionális frakció, a mértéke a számlálót (azaz 2) kevesebb, mint a polinom foka nevezője (3 ie). Rátérve a nevező a frakció. A nevező polinom figyelembe kell őket venni. Néha faktoring hasznos Horner rendszer. de ebben az esetben könnyebb, hogy nem a szokásos „iskola” csoportosításával feltételek:
Alkalmazása ugyanazokat a módszereket, mint az előző bekezdésben, megkapjuk:
Így végül van:
Folytatása ez a téma kerül megvitatásra a második részben.