N-dimenziós euklideszi tér wiki
Euklideszi tér (szintén euklideszi tér) - az eredeti értelemben, a tér, amelynek a tulajdonságai által leírt axiómák az euklideszi geometria. Ebben az esetben azt feltételezzük, hogy a térnek dimenzió. egyenlő 3.
A modern értelemben vett, általánosabb értelemben jelenthet egy hasonló és szorosan kapcsolódó tárgyak: véges dimenziós valós vektortér R n ^> a bejegyzésével pozitív definit belső termék. Egy metrikus tér. ennek megfelelő vektorba helyet. Ebben a cikkben az eredeti kerül sor az első meghatározás.
n dimenziós euklideszi tér jelöli E n. ^> Is gyakran használt szimbólum R n ^> (kivéve, ha a kontextus egyértelmű, hogy a tér egy euklideszi szerkezet).
A hivatalos meghatározás [| ]
Annak megállapításához, euklideszi térben legkönnyebben veszi az alapvető koncepciója skalárszorzat. Vektor tér van kialakítva, mint egy véges dimenziós vektortér feletti valódi területen. A vektorok akinek igazi funkció van beállítva ( # X22C5;. # X22C5; ). az alábbi három tulajdonság:
Affin tér. ennek megfelelő vektor helyet, úgynevezett euklideszi affin teret, vagy egyszerűen euklideszi térben [1].
Példa euklideszi tér - koordinátatérben R n. ^>, Amely az összes sorok a valós számok (x 1 x 2. # X2026;. x n). , X _, \ ldots, x _),> ahol a belső termék formula határozza meg (x. Y) = # X2211; i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + # X22EF; + X n y n. ^ X_y_ = x_y_ + x_y _ + \ cdots + x_y _.>
Hosszúságban és szögek [| ]
Meghatározása az euklideszi belső szorzat tér ahhoz, hogy vezessenek be geometriai fogalmak hosszát és szögét. u vektor hosszát úgy definiáljuk, mint (u u.) >> és jelöljük | u |. [2] [3] A pozitív meghatározottsága skalár termék biztosítja, hogy a nem nulla vektor hossza nem nulla, és a bilinearity következik, hogy | Egy u | = | a | | u |. amely arányos a hossza a vektor arányos.
A szög a vektorok u és v formula határozza meg # X03C6; = ARccOS # X2061; ((X y) |. X | | y |) ..> \ jobb)> Az tétele koszinuszok, hogy a két-dimenziós euklideszi tér (euklideszi sík) meghatározása a szög egybeesik a szokásos. Ortogonális vektorok, mint a háromdimenziós térben lehet meghatározni, mint egy vektor közötti szög, amely egyenlő # X03C0; 2.>.>
Cauchy - Schwarz - Schwarz egyenlőtlenség és a háromszög [| ]
volt egy rés a fenti meghatározás a sarokban ARccOS # X2061; ((X y) |. X | | y |)> \ right)> azonosították, az szükséges, hogy az | (X y.) | x | | y | | # X2A7D; . 1> \ right | \ leqslant 1.> Ez az egyenlőtlenség teljesül abban minden euklideszi térben, ez az úgynevezett egyenlőtlenség Cauchy - Schwarz - Schwarz. Ez az egyenlőtlenség viszont következik a háromszög-egyenlőtlenség. | u + v | # X2A7D; | u | + | v |. Háromszög-egyenlőtlenség, a hossza a fenti tulajdonságokkal, azt jelenti, hogy a hossza a vektor a norma a vektor helyet, és egy függvény d (x y.) = | x # X2212; y | készlet egy euklideszi térben metrikus tér szerkezete (ez a funkció az úgynevezett euklideszi metrika). Különösen, a távolság a elemek (pontok) X és Y koordináta térben R n ^> a következő képlet adja meg d (x. Y) = # X2225; x # X2212; y # X2225; = # X2211; i = 1 n (x i # X2212; y i) 2., \ mathbf) = \ | \ mathbf - \ mathbf \ | = ^ (x_-y _) ^ >>>.
Algebrai tulajdonságai [| ]
Ortonormált bázis [| ]
Ortonormális alapján az euklideszi (vektor) tér - ez az alapja. álló kölcsönösen ortogonális vektorok egység norma. Ortonormált bázis a legalkalmasabbak számítástechnika. Például, a skaláris szorzata vektorok koordinátái (a 1. 2. # X2026;. a n), a _, \ ldots, a _)> és (b 1 b 2. # X2026;. b n), b _, \ ldots, b _)> egy ortonormáiis bázis lehet kiszámítani egy (a. b) = a 1 b 1 + a 2 + b 2 # X22EF; + A n b n. B_ + a_b _ + \ cdots + a_b _.> Mindenesetre euklideszi térben létezik olyan ortonormált bázis. Kiválasztása euklideszi terek ortonormált bázis és át őket egymástól lineáris leképezés. lehet bizonyítani, hogy bármely két euklideszi térben azonos méretű izomorf (különösen n-dimenziós euklideszi tér izomorf R n ^> standard belső termék).
Merőleges vetülete [| ]
A vektor az úgynevezett ortogonális altér, ha ortogonális az összes vektorok ezen altér. A merőleges vetülete x rá a altér U - egy hs vektor. U. ortogonális oly módon, hogy X jelentése formájában u + h. ahol u # X2208; U. végei közötti távolság a vektorok u és x a legkisebb távolság közötti távolságot a végén a vektor x az altér U. merőleges vetülete a vektor az altér mindig ott az építkezés elegendő módszerét alkalmazni ortogonalizáló Gram - Schmidt ortonormális alapja az egységet a altér és ezt a vektort. Merőleges vetülete a terek nagy méretű használnak, például a legkisebb négyzetek módszerével.
Kettős terek és szereplők [| ]
Bármely olyan vektor, x euklideszi tér egy Lineáris funkcionális X # X2217;> ebben a térben, amely x # X2217; (Y) = (X. Y). (Y) = (x, y).> Ez a leképezés egy közötti izomorfizmus az euklideszi teret és annak duális tér [4], és lehetővé teszi számukra, hogy azonosítani kell, anélkül, hogy veszélyeztetné számítás. Különösen a konjugált szereplők lehet tekinteni, mintha a az eredeti helyet, nem pedig a kettős rá, és meghatározza az önadjungált operátor, mivel a szereplők, ami egybeesik a konjugátum nekik. A ortonormáiis bázis mátrix konjugát transzponált üzemeltető mátrix az eredeti üzemeltető, és a mátrix egy szimmetrikus Önadjungált üzemeltető.
Mozgalom az euklideszi térben [| ]
Mozgalom az euklideszi tér - átalakítsa azt. megőrizve a mutató (más néven izometriák). Példa mozgása - párhuzamos fordítás v vektorral. térképek a P pont az a pont p + v. Könnyen belátható, hogy minden mozgás készítmény párhuzamos átvitel és az átalakulás megőrzése rögzített egy pontot. Kiválasztása egy fix pont, mint a származás, az ilyen mozgást lehet kezelni, mint a ortogonális transzformáció. Ortogonális transzformációk n dimenziós euklideszi tér csoportot alkotnak jelöljük O (n). Kiválasztása egy ortonormáiis bázis a térben, ez a csoport lehet olyan, mint egy csoport mátrixok n × n. megfelelő Q T Q = E.> Q = E ,,>, ahol Q T >> - átültetett mátrix, és E - az identitás mátrix.
Példák [| ]
Szemléltető példák euklideszi terek terek:
További elvont példa:
- tér valós polinomok p (x) foka nem nagyobb, mint n. skaláris szorzata, definíció szerint a szerves a termék a végső szegmens (vagy az egész sort, de gyorsan csökken tömeg funkciót, mint például az e # X2212; >> x 2).