Módszerei nemlineáris egyenletek és lineáris algebra problémák, három-diagonális mátrix

Amint látható Sec. 3.2 szimmetrikus mátrix lehet csökkenteni alkalmazásával hasonlóság átalakulások tridiagonális formában. Ezen kívül a három-diagonális mátrix független érdeklődés, mivel előfordulnak számítógépes gyakorlat, és gyakran kell találni a saját értékeit, és saját vektorok. Tekintsünk egy három-diagonális mátrix formájában

Itt az elemek b 1, b 2, ... b nraspolozheny végig a fő átló; c1, s2.cn-1 - rajta; a2, 3, ..., an - alatta.

Ahhoz, hogy megtalálja a sajátértékek, meg kell nullának meghatározó vagy

Önkényes determináns n-edrendű fejezhető n kiskorúak (n-1) - edik érdekében elbontjuk azt az elemek bármilyen sor vagy bármely oszlop. Mi bővíteni a determinánst (3,15) az utolsó sorban az elemek, amelyben csak két nem nulla elemek. megkapjuk

Minthogy a kis utolsó oszlop csak egy nulla elemet cn-1. majd, kiterjesztve azt a elemeinek az oszlop, megkapjuk

Behelyettesítve ezt a kifejezést a (3.16), megkapjuk a rekurzív sorozat, kifejező kisebb magasabb rendű szempontjából a kiskorúak, a két alsó-sorrendben:

Let. Kisebb elsőrendű elem A11 meghatározó, azaz ebben az esetben helyességének ellenőrzését értékeket a képlet (3,17) n = 2:

Kisebb kiszámításakor a második sorrendű determinánst (3,15), azt látjuk, hogy a kifejezés (3.18). Így a rekurzív sorozat (3,17) találunk a kifejezés a karakterisztikus polinom Dn (# 955;) minden. Kiszámítása a gyökerei a polinom, megkapjuk a sajátértékei a tridiagonális mátrix (3.14).

Feltételezzük, hogy a sajátértékek # 955; 1 # 955; 2. # 955; n mátrix (3,14) számítjuk. Megtaláljuk a megfelelő sajátvektor. Bármely sajátérték sajátvektor az egyenletrendszert (3.4)

Mi jár a mátrix jelöléssel ez a rendszer egy telepített (A - mátrix formájában (3,14)):

Mátrix rendszer (3.19) van degenerált determinánsa (3,15) egyenlő nullával. Tudjuk mutatni, hogy ha az utolsó egyenlet (3.19) következménye a fennmaradó egyenletek. Valóban, ha figyelmen kívül hagyjuk az első oszlop és az utolsó sorban a mátrix, akkor ahelyett, hogy (3,15) megkapjuk a meghatározója formájában

Ezért minden sorban az első, (n -1) -edik sor lineárisan független, az utolsó egyenlet (3.19) - következtében a többiek, és egy ismeretlen ez a rendszer mentes. Eldobása az utolsó egyenlet (3.19), akkor írd formájában

Feltételezve, x komponens 1svobodnym ismeretlen, és a beállítás, egyenlő minden nem nulla értéket (a másik, amikor X 1 = 0, a többi komponens is nulla) lehetnek a (3.21), hogy megtalálja egymást követően az egyéb komponensek: az első egyenlet könnyen számolható x 2, a második x kommunikációs stb az utolsó HP. Mivel a meghatározó (3,20), ez a rendszer nem nulla, akkor van egy egyedi megoldás. Leírunk eljárást sajátvektorok megfelelő összes sajátérték megtalálható # 955; 1 # 955; 2. # 955; n tridiagonális mátrix (3.14).

Ha trehdiagodalnaya mátrix eredményeként kapott szekvencia-hasonlóság transzformációk kezdeti szimmetrikus mátrix, mint már említettük, az összes sajátértékei tridiagonális mátrix egyszerre sajátértékei az eredeti mátrix és a sajátvektorok újraszámított képlet alapján (3.13). Így, hogy kiszámolja a mátrix termék sajátvektorok tridiagonális mátrix praktikus, mert megszorozzuk Pij mátrix vektor x változik csak két alkotóeleme: xi és xj. Ezért, mivel ezek az alkatrészek értékeket vehetnek, és hogy csökkenti a számítás képest Pij mátrix szorzás x vektor.