Megtalálni a taglétszámát a forgatáson az első tag
Numerikus sorozat lehet változtatni. Leggyakrabban, egyszerűen használja a rekord típus $ \ sum \ limits_ ^ u_n $. Néha azonban azt mutatják, az első néhány szempontból a sorozat, amelynek meg szeretné visszaállítani az általános kifejezés a sorozat. Őszintén szólva, ezek a feladatok nem az egyetlen megoldás, és ez bizonyítható példa №1. Van azonban néhány általános technikákat használt standard esetben.
Kezdeni, érdemes felidézni néhány szekvenciákat. Például, négyzetek a pozitív egész számok, azaz szekvenciát $ u_n = n ^ 2 $. Íme az első néhány szempontból a sorozat:
Hogy jutottunk ezek a számok? Megjelenítése \ elrejtése
A teljes kifejezés a szekvencia az űrlap $ u_n = n ^ 2 $. Behelyettesítve $ n = $ 1, megkapjuk:
Ez az első kifejezés a szekvencia. Behelyettesítve $ n = 2 $ a $ u_n = n ^ 2 $, megkapjuk a második kifejezés a szekvencia:
Ha helyettesíti az $ n = 3 $, megkapjuk a harmadik ciklus a szekvencia:
Hasonlóképpen, azt látjuk, a negyedik, ötödik, hatodik és egyéb feltételeket a sorozat. Így megkapjuk a megfelelő számot:
Azt is érdemes szem előtt tartva a feltételeket a szekvencia $ u_n = n ^ 3 $. Íme az első néhány tagját:
Ezen túlmenően, a kialakulása egy gyakori kifejezés a sorozat gyakran használt szekvencia-$ u_n = n $, az első néhány amelynek tagjai:
Record "n!" (Read „en faktoriális”) képviseli a terméket az összes egész számok 1-től n, azaz
$$ n! = 1 \ cdot2 \ cdot 3 \ cdot \ ldots \ cdot n. $$
A definíció szerint azt feltételezzük, hogy a $ 0! = 1! = 1 $. 5. példa találni.
5 $$! = 1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 4 \ cdot 5 = 120. $$
Gyakran használják számtani és mértani sorozat. Ha az első ciklus egy számtani sorozat van $ a_1 $, és a különbség $ d $, az általános kifejezés egy számtani sorozat alkalmazásával van rögzítve ezt a képletet:
Mi egy számtani sorozat? Megjelenítése \ elrejtése
Számtani sorozat - A számok sorozata, amelyben a különbség a későbbi és a korábbi tag változatlan. Ez a különbség az úgynevezett állandó különbség progresszióját. Például, vegyük a következő sorrendben:
Felhívjuk figyelmét, hogy nem számít, milyen pár szomszédos elemek nem vennénk, a különbség az előző és az azt követő tagjai mindig állandó, és egyenlő a 7:
\ begin 10-3 = 7; \\ 7 = 17-10; \\ 7 = 31-24; \ Ldots \ end
Ez a szám, azaz 7, és ez a különbség progresszió. Jellemzően betűvel jelöljük d $ $, azaz $ D = $ 7. Az első elem a progresszió $ a_1 = 3 $. Az általános kifejezés a progresszió írási amelyet a képlet (4). Behelyettesítve benne $ a_1 = 3 $ és $ d = $ 7, van:
Az egyértelműség kedvéért, azt látjuk, a képlet $ a_n = 7W- $ 4 az első néhány szempontból egy számtani sorozat:
\ begin a_1 = 7 \ cdot 1-4 = 3; \\ a_2 = 7 \ cdot 2-4 = 10; \\ a_3 = 7 \ cdot 3-4 = 17; \\ a_4 = 7 \ cdot 4-4 = 24; \\ a_5 = 7 \ cdot 5-4 = 31. \ end
Behelyettesítve a képletben $ a_n = 7N- $ 4 bármilyen érték számokat $ n $, akkor kap minden tagja egy számtani sorozat.
Azt is érdemes megjegyezni, mértani. Ha az első kifejezés a progresszió $ b_1 $, és a nevező értéke $ q $, az általános kifejezés egy mértani van a következő képlet adja:
Mi a mértani? Megjelenítése \ elrejtése
Mértani - egy számsorozat, amelyben az arány a későbbi és a korábbi tagok folyamatosan. Ez az állandó arányt nevezzük a nevező progresszió. Például, vegyük a következő sorrendben:
$$ 6; \; 18; \; 54; \; 162; \; 486; \; 1458; \; 4374; \ Ldots $$
Felhívjuk figyelmét, hogy nem számít, milyen pár szomszédos elemek, nincs, ezt követően a korábbi magatartása mindig állandó marad 3:
Ez a szám, azaz 3 a nevező a progresszió. Ez általában betűvel jelöljük $ q $, azaz $ Q = 3 $. Az első elem a progresszió b_1 $ 6 = $. Az általános kifejezés a progresszió írási amelyet a képlet (5). Behelyettesítve benne $ b_1 = 6 $ és $ q = $ 3, van:
Az egyértelműség kedvéért, azt látjuk, a képlet = $ b_n 6 \ cdot 3 ^ $ első néhány szempontból egy mértani:
\ begin b_1 = 6 \ cdot 3 = 0 = 6; \\ b_2 = 6 \ cdot 3 ^ 1 = 18; \\ B_3 = 6 \ cdot 3 ^ 2 = 54; \\ B_4 = 6 \ cdot 3 ^ 3 = 162; \\ B_5 = 6 \ cdot 3 ^ 4 = 486. \ end
Behelyettesítve a képletben = $ b_n 6 \ cdot 3 ^ $ Bármilyen értékszámok $ n $, akkor kap minden tagja egy mértani.
Az összes alábbi példákban szempontjából a sorozat jelöljük $ u_1 $ (az első ciklus a sorozat), $ u_2 $ (a második kifejezés a sorozat), és így tovább. Vedd $ u_n $ jelöli a általános kifejezés a sorozat.
Keresse az általános kifejezés a $ \ frac + \ frac + \ frac + \ frac + \ ldots $.
Ezek lényege, célja, hogy észre egy minta, amely jellemző az első tagja a sorozat. És az e jogszabály alapján arra következtetni, hogy az általános kifejezés a formában. Mit jelent a „megtalálni a közös elem”? Ez azt jelenti, hogy meg kell találni egy kifejezést, hogy ebben az esetben, ahol $ n = 1 $ megkapjuk az első ciklus a sorozat, azaz a $ \ Frac $; behelyezése $ n = 2 $ megkapjuk a második kifejezés a sorozat, azaz, $ \ Frac $; behelyezése $ n = 3 $ megkapjuk a harmadik kifejezés a sorozat, azaz, $ \ Frac $ és így tovább. Ismerjük az első négy a sorozat:
Menjünk lépésről lépésre. Minden ismert tagjai a sorozat - lövés, így joggal feltételezhetjük, hogy az általános kifejezés a sorozat is egy-egy frakció:
A mi feladatunk -, hogy megtudja, mi rejtőzik az kérdőjeleket a számláló és a nevező. Rátérve először a számlálóban. A számláló az ismert tagjai a sorozat az 1, 2, 3, és 4. megjegyzés, hogy a szám minden egyes tagja a sorozat megegyezik a számláló. Az első ciklus a számlálóban az egység, a második - két, a harmadik - három, a negyedik - négy.
Logikus azt feltételezni, hogy az n-edik távon a számlálóban lesz $ n $:
Mellesleg, ez a következtetés akkor jönnek, és más módon, egy inkább formális. Ez egy szekvencia 1, 2, 3, 4? Vegyük észre, hogy minden távon a sorozat 1 több, mint az előző. Van szó, négy tagja egy számtani sorozat, az első tagja, amely $ a_1 = $ 1, és a különbség a $ d = 1 $. Egyenletet használva (4). Megkapjuk a kifejeződése általános progresszió a tag:
Tehát, hogy kitalálják, vagy hivatalos számítás - ízlés dolga. A legfontosabb dolog - felvettük az összes tagja a számlálót. Térjünk a nevező.
A nevezőben, van egy sorozata 7, 9, 11, 13. Ez a négy-számtani sor tagja, az első tag egyenlő $ b_1 = $ 7, és $ d = közötti különbség 2 $. Összességében progresszió tagja megtalálják, a következő képlet segítségével (4):
A kapott expressziós, azaz $ 2n + 5 $, és ez az általános kifejezés nevező. Tehát:
A teljes távon a sorozat érkezik. Nézzük az alkalmasságát a formula talált $ u_n = \ frac $ kiszámításához ismert tagja a sorozat. Találunk tagjai $ u_1 $, $ u_2 $, $ u_3 $ és $ U_4 $ képlet $ u_n = \ frac $. Az eredmények természetesen meg kell egyeznie a minket azzal a feltétellel, az első négy a sorozat.
Ez így van, az eredmény ugyanaz. Meghatározott feltétel száma most ebben a formában íródott: $ \ sum \ határok _ ^ \ frac $. Az általános kifejezés az űrlap $ u_n = \ frac $.
Van egy ilyen szám nem a jogot, hogy létezik? Mégis van. És ez a sorozat is írt, hogy
Felvehet és a másik folytatást. Például ez:
És ilyen meghosszabbítás nem mond ellent semmit. Ebben az esetben tudjuk írni
Ha az első két lehetőség tűnt túl formális neked, akkor én kínálnak egy harmadik. Írjuk fel az általános kifejezés a következő formában:
Kiszámoljuk az első négy a sorozat, a tervezett általános kifejezés képlet:
Mint látható, a javasolt általános kifejezés képlet elég pontos. És ezek a változatok is felér egy végtelen számú, a szám nincs korlátozva. A hagyományos példákat, természetesen, egy szabványos bizonyos ismert szekvenciák (progresszió foka faktoriális, stb). Azonban az ilyen problémák mindig jelen vannak a bizonytalanság, és kívánatos, hogy tartsa szem előtt.
Az összes alábbi példák ezt a kétértelműséget nem volt kikötve. Problémák vált szokásos módszerekkel, amelyeket elfogadott a legtöbb könyvet a problémák.
Válasz. általános kifejezés a sorozat: $ u_n = \ frac $.
Tudjuk, hogy az első öt szempontból a sorozat:
Minden ismert tagjai a sorozat - a frakció, majd az általános kifejezés a sorozat kell törekedni a frakciók formájában:
Azonnal kapcsolja fel a figyelmet a számlálót. Az összes számláló az egyik, és így a teljes taglétszámának számlálója egység, azaz a
Áttérve a nevező. A nevezők ismert tagjainak az első sorozat elrendezett termék szám: $ 1 \ cdot $ 5, $ 3 \ cdot $ 8, $ 5 \ cdot $ 11, $ 7 \ cdot $ 14, $ 9 \ cdot $ 17. Az első ilyen számok a következők: 1, 3, 5, 7, 9. Ez a szekvencia egy első tagja, $ a_1 = 1 $, és minden ezt követő fordulatok az előző hozzáadásával $ d = 2 $. Más szóval, az első öt szempontból egy számtani sorozat, az általános kifejezés, amely lehet írni a következő képlet segítségével (4):
A termékek a $ 1 \ cdot $ 5, $ 3 \ cdot $ 8, $ 5 \ cdot $ 11, $ 7 \ cdot $ 14 $ 9 \ cdot $ 17 második számok: 5, 8, 11, 14, 17. Ezek az elemek egy számtani sorozat, az első tagja, amely $ b_1 = $ 5, és a nevező $ d = 3 $. Az általános kifejezés a progresszió írási segítségével az összes ugyanazt a (4) képletű:
Nézzük bemutatni az eredményeket össze. A termék egy sor általános kifejezés a nevező az ilyen: $ (2n-1) (3n + 2) $. És az általános kifejezés a sorozat a következő:
Ahhoz, hogy ellenőrizze az eredményt találunk a képlet $ u_n = \ frac $ az első négy a sorozat, amelyekről ismert, hogy minket:
Így a képlet $ u_n = \ frac $ pontosan kiszámítani a feltételeket a sorozat által ismert állapot. egy előre meghatározott számú lehet rögzíteni, ha így kívánja:
A folytatás a téma tárgyaljuk a második és harmadik rész.