Matematika a közgazdászok
Itt - az együtthatók a rendszer (az első index számát jelzi az egyenlet, és a második - a szám ismeretlen), - ingyenes tagok.
Ha. A rendszer (1) homogénnek nevezzük. Ha legalább egy. A rendszer neve heterogén.
Az oldatot (1) van egy sor ismeretlen értékek. visszafordítása minden egyenletek numerikus egyenlőséget. SLAE úgynevezett megoldható (közös). ha van legalább egy megoldást. Ellenkező SLAE úgynevezett oldhatatlan (inkompatibilis). Ha legalább az egyik egyenletek nincs megoldás Slough, Slough következetlen.
SLAE nevezett bizonyos. Ha csak az egyik megoldás, és az úgynevezett határozatlan. ha több mint egy megoldást,
Homogén lineáris rendszerek mindig következetes, mert Ez egy nulla megoldás.
A készlet valamennyi oldat lineáris rendszerek az úgynevezett az általános megoldás. Két lineáris rendszerek ugyanazt az ismeretlenek száma nevezzük egyenértékű (ekvivalens). Ha a készlet a match-making. Bármely két inkompatibilis lineáris rendszerek ugyanazt az ismeretlenek száma egyenértékűnek tekintendők.
Megvizsgálni és megoldani lineáris rendszerek - ez azt jelenti:
- telepíteni, kompatibilis, vagy nem felel meg;
- ha ez összeegyeztethető, meghatározza, hogy ez egy meghatározott vagy meghatározatlan, így:
- abban az esetben egy speciális rendszer, hogy megtalálják a megoldást csak;
- abban az esetben bizonytalan rendszer leírására sor valamennyi megoldásokat.
úgynevezett mátrix (core vagy mátrix) a rendszer (1).
úgynevezett kiterjesztett rendszer mátrix (1).
Rendszer (1) felírható mátrix formában. ahol - a mátrix a rendszer, - a vektor ismeretlenek - vektor ingyenes tagok.
Egy speciális esetben az (1) SLAE álló egyik formája az egyenlet, például.
Az egyenlet a forma az úgynevezett „közömbös” egyenlet Ennek az egyenletnek eleget tesz azoknak a ismeretlenek.
Elemi transzformációk Lineáris rendszerek nevezik a következő átalakításokat:
- helyet cserél két egyenlet;
- szorzása mindkét oldalán egy egyenlet egy szám nullától eltérő;
- hozzátéve, hogy mindkét oldalán egy egyenlet megfelelő részeit egy másik egyenlet számmal szorzódik.
Emlékezzünk bizonyos definíciók a rendszer mátrix (1).
A mátrix azt mondják, hogy csökkenteni kell. Ha minden sorban van a nem nulla, nem nulla elemet, hogy az összes többi elem az oszlop azt tartalmazó elem nullával egyenlő. Az említett nem-nulla elemet nevezzük mester és köt meg szögletes zárójelben.
1. példa Mátrix
kapnak, és a mátrix
nem kapnak, mivel a második sorban nem a vezető elem.
Megjegyezzük, hogy a vezető elem egy sorban, akkor dönt, hogy nem az egyetlen út.
Például, egy mátrixban
Az első sorban, mint a vezető lehet választani minden nem nulla eleme.
Úgynevezett rangot mátrix, a száma nem nulla vonalak a megfelelő redukált mátrixok (jelöli -. Csökkentett mátrix mátrix).
Slough mondta csökkenteni kell. ha az alapvető mátrix csökken.
Amikor megoldására rendszerek lineáris algebrai egyenletek helyett maguknak a rendszereknek gyakran lemerült kiterjesztett mátrix. így a rendszer
megfelel a kiegészített mátrix
kutatási Gauss lineáris rendszerek csökkenti az építési segítségével elemi transzformációk a fenti Slough, ami az eredeti rendszert, valamint további kutatási és határozatokról Slough.
Gauss módszer azon alapul, a következő két tételt.
1. Tétel SLAE nyert kezdeti lineáris rendszerek segítségével véges számú elemi transzformációk egyenértékű az eredeti SLAE.
2. tétel Bármely SLAE van egyenértékű azzal adott Slough.
Megjegyezzük, hogy a szabály, adott SLAE, megegyezik az eredeti SLAE, nincs egyértelműen meghatározva (jelenne alább).
A tanulmány bemutatott SLAE osztja 2 fázisra.
Stage 1. Következetesség és ellentmondás
Ha kiterjesztette a csökkentett mátrix SLAE karakterlánc formában. hol. azaz maga tartalmaz egy formája csökkentett SLAE egyenlet
ez nincs, mert . Ezért következetlen és az eredeti Slough.
Ha a kiterjesztett karakterlánc tartalmaz SLAE mátrix formában. akkor már megfelel a „közömbös” egyenlet, amit el lehet dobni sérelme nélkül további vizsgálat miatt Megkapjuk a megfelelő rendszerrel.
Ha adott SLAE nem tartalmaz egyenletek formájában (4), ez összhangban. Következésképpen, következetes és eredeti Slough.
Megjegyezzük, hogy a megjelenése a forma (4) egyenlet a folyamat építése a fenti SLAE már mutatja az inkompatibilitás az eredeti Slough.
2. szakasz. Leírása az általános megoldás
Minden sor egy adott SLAE vezető elem. Ismeretlen, megfelelnek a vezető elemek, az úgynevezett csatlakoztatva. fennmaradó ismeretlen - ingyen. Például, ha adott a csökkentett mátrix bővült. az ismeretleneket kapcsolatos a megfelelő SLAE lesz. szabad és.
Mivel minden adott egyenlet SLAE tartalmaz egyetlen kötött ismeretlen, bár nem egyértelműen meghatározott módon hiányzik a többi egyenletet, majd ad ingyenes anonim tetszőleges értéket, akkor egyedileg meghatározni az értékét ismeretlenek kapcsolatos, ezért a döntés Slough. Egyértelmű, hogy a rendelkezésre álló ismeretlen Slough bizonytalan, és végtelen számú megoldást.
Leírása az általános megoldás az alábbiak szerint adandó. Tegyük fel, például a társított változók és szabad változók, akkor a mátrix SLAE csökkentett (akár nulla sorok eldobjuk) a formája