Közönséges differenciálegyenletek
A homogén lineáris differenciálegyenlet rend N-
Az n lineárisan független megoldásokat a homogén lineáris differenciálegyenlet n-ed rendű y1 (x), y2 (x). yn (x) nevezzük alapvető rendszer megoldások.
Lineáris homogén differenciálegyenletek állandó együtthatós, van egy egyszerű algoritmus építésére alapvető rendszer megoldások. Mi megoldást keres formájában y (x) = exp (lx):
exp (lx) (n) + A1 exp (lx) (n-1) +. + An- 1 exp (lx) „+ egy exp (LX) =
= (L n + A1 l n -1 +. + An- 1 l + egy) exp (LX) = 0,
azaz száma l a gyökér a karakterisztikus egyenlet
L N + A1 l n -1 +. + An- 1 l + egy = 0.
A bal oldalon a karakterisztikus egyenlet az úgynevezett karakterisztikus polinomja lineáris differenciálegyenlet:
P (l) = l n + A1 l n -1 +. + An- 1 l + egy.
Így a probléma megoldásának lineáris homogén egyenlet n-ed rendű állandó együtthatós csökken megoldása egy algebrai egyenlet.
1. példa Az alapvető rendszer megoldások és egy közös megoldás esetében egyszerű valós gyökereit.
2. példa alapvető rendszer megoldások és egy közös megoldás esetében a többszörös valós gyöke.
3. példa Egy alapvető rendszer megoldások és egy általános megoldást az esetben n egyszerű összetett gyökereit.
4. példa Az alapvető rendszer megoldások és egy közös megoldás esetében egyszerű összetett gyökereit. Képzelt gyökereit.
5. példa Az alapvető rendszer megoldások és egy közös megoldás esetében a többszörös komplex gyökerek.
6. példa A megoldás a Cauchy probléma.