Kiszámítjuk a kettős integrál
Home | Rólunk | visszacsatolás
Kiszámításánál a kettős szerves része a terület, célszerű bemutatni más formában. Mi osztott régió D integrációja a síkon Oxy egy részterülete révén két koordináta-rendszer sorokat: x = const, y = const. Ezek a vonalak egyenesek, a tengellyel párhuzamos, és Oy rendre Ox tengely és a részleges terület - téglalapok oldala párhuzamos a koordináta-tengelyek. Nyilvánvaló, hogy a terület minden egyes részleges régió megegyezik a termék és a megfelelő. Ezért a terület az elem, írunk a formában, hogy a terület elem derékszögű koordináta a termék a különbségek a független változók. van
Kiszámításakor kettős integrálok (*) kerül a tényen alapul, hogy ez kifejezi a V térfogata a hengeres test, hogy a bázis a D, korlátozott felületet. Emlékezzünk, hogy már részt vesz a problémát a mennyiség a test, amikor tekinthető határozott integrál alkalmazása problémákhoz geometria és kapott általános képletű
ahol S (x) - a keresztmetszeti területet a test sík, amely merőleges az x-tengelyen a és - egyenlet síkok határoló testet. Most nézzük ezt a képletet, hogy a számítás a kettős integrál
Tegyük fel először, hogy az integráció régió D kielégíti a következő feltételt: bármely párhuzamos egyenes Ox és Oy tengely keresztezi a határ menti terület nem több, mint két pont. A megfelelő hengeres test a 3. ábrán látható
Region D bezárjuk téglalap
oldalai, amelyek kapcsolódnak a határ a A, B, C, E. Az intervallum [a, b] az a merőleges vetülete a D régióra az x-tengelyen, és az intervallum [c, d] - ortogonális vetülete a D régióra a tengelyen Oy. Az 5. ábra a D régióra az Oxy síkban.
A és C pontok határa van osztva két sor: ABC és AEC, amelyek mindegyike metszi bármely vonal párhuzamos a Oy tengelyre egy ponton. Ezért az egyenletek írhatók formában megoldott képest y:
Hasonlóképpen, a B és E pontja határvonalra van osztva BAE és mindaz, amit tud írni az egyenletet az alábbiak szerint:
Két alkalommal (újra) integrál. Legyen D - régió, abba az irányba, könnyen tengely Oy. Tekintsük ezt a kifejezést. Ez a szerkezet határozza meg két hagyományos bizonyos integrál. Miután az integráció a belső integrál (x változó tekinthető állandó), és helyettesítjük az y tartományban, hogy megkapjuk a funkció, amely attól függ, csak x, amely integrálja tartományban tól b-ig. A jövőben, akkor általában égnek a tárgy nélküli belső zárójelben:
Meg lehet mutatni, hogy a kettős integrál az összes tulajdonságait a kettős integrál:
Tulajdonságok lineáris egyenlőtlenségek és az integráció következik ezek a tulajdonságok a határozott integrál; Az integrál függvény egységnyi területen ad oblastiD :;
Tétel az értékelés és az átlagos következik ezeket a tulajdonságokat. Az egyetlen tulajdonság, amelynek meg kell bütykölni - ez az adalék tulajdonság. Megmutatjuk, hogy ez egy egyszerű, de megfelelő formában a számunkra, ha a domain D két részre van osztva alrégiók D1 és D2 párhuzamos egyenes egyik koordinátatengelyek, a kettős integrál területen D összegével egyenlő az integrálok a D1 és D2: J (D) = J (D1) + J (D2).
Első eset: X = A1 vonal Oy a tengellyel párhuzamos. majd