Ideális összenyomhatatlan közeg - studopediya
A probléma a mozgás a gömb határtalan kötet
Tekintsük a probléma a mozgás teljesen tömör gömb egy végtelen súly Ideális összenyomhatatlan folyadékot, ha a folyadék nem külső tömegerők.
Hagyja, hogy a gömb sugara mozog transzlációsán a rögzített vonatkoztatási rendszer sebességgel korlátlanul térfogatú ideális összenyomhatatlan folyadékkal. Mozgást okozott a mozgás a gömb képest ez referenciakeret, meg kell hívni az „abszolút” mozgás.
Tanulmány az „abszolút” mozgás a folyadék fogjuk használni a mozgó koordináta-rendszer, amely mereven kapcsolódik a gömb és az eredete a közepén.
A megzavart folyadék mozgása lesz lehetséges, ha ez a folyamatos és merült fel álló helyzetből. Lehetséges miatt folytonossági egyenlet összenyomhatatlan közeg kell felelniük a Laplace-egyenlet mindenütt körén kívül,
a következő további feltételekkel: folyékony nyugszik végtelenbe, és ebből következően,
a a gömb felszínén kell eleget vízzáró és nem szeparált folyadékáramlást (a normál komponense folyadék sebességének meg kell egyeznie a szokásos komponense a sebesség pont a gömb felületén).
Ha a gömb halad előre sebességgel egy tengely mentén, az áramlás állapotát (vízzárás) felírható a következőképpen:
ahol - változtatható szögű és között.
A megoldás erre a problémára egyedi és könnyű megszerezni alapján egyedi megoldásokat a Laplace-egyenlet.
ahol - egy konstans. Tehát válasszon egy funkciója megfelel a Laplace-egyenlet körén kívül és a végtelenben nullához együtt ezek származékai, azaz Ez megfelel a peremfeltételek a végtelenben.
Most kell, hogy vegye fel a konstans értékét, hogy megfelel a peremfeltételek a áthatolhatatlanság (7,52). A gömb felülete, nyilván,
Behelyettesítve ezt az értéket (7,52), megkapjuk
azaz a feltétel (7,52) elégedett lesz, ha veszünk
Ez a függvény a
Ez ad a megoldás a problémára a mozgás egy gömb egy folyékony. Ábra. 7,21 mutatja az áramlási áramvonalak épített. Ha a gömb halad előre sebességgel irányított önkényesen képest koordinátatengelyeken, a mozgás a megzavart potenciális folyadék sebessége kijavítjuk formula
Az általános esetben tetszőleges mozgások gömb szilárd anyagként (transzlációs és rotációs) sebesség potenciál képletű (7,55), amelyek komponensei a a gömb középpontján sebesség mozgatótengelyek.
Eloszlásának meghatározása a gömb alakú felületi nyomás szükséges, hogy használatát a beépített Cauchy - Lagrange. Az előre irányuló mozgás tengelye mentén, amikor a funkció határozza meg a mozgó koordináta-rendszer (lásd. (7,35)), van
amennyiben a feladat már definiált alapján az a pont a végtelenben, ahol azt feltételezzük, hogy és. Ismerve a nyomás eloszlása a felszínen, megtalálja által kifejtett erő a folyadék a szférában.
Tekintsük a probléma áramlás rögzített gömb áramlás ideális összenyomhatatlan folyadékkal. Legyen az áramlási sebesség a végtelenben, és arra irányul, a tengellyel párhuzamos. folyadék mozgása ebben az esetben is lehet nevezni a „relatív”. A sebesség potenciális kell mindenütt körén kívül kielégíti a Laplace-egyenlet
és az alábbi peremfeltételek a végtelenben
és a gömb felülete
Erre a feladatra használjuk a megoldás a korábbi probléma a mozgás egy gömb egy folyékony nyugalomban. Könnyen belátható, hogy a hatálya alá az áramlási probléma megoldása lehet beszerezni, ha az egész rendszer a folyadék plusz szféra az előző feladatban, hogy tájékoztassa a fordulatszám, ahol - a sebesség szektorban. Hatálya tehát megáll, míg a mozgást egymásra korábban elérhető az előremenő tengelyével párhuzamosan, melynek potenciálja.
A potenciális így kapott áramlási
Ez egy harmonikus függvény, amely megfelel a feltételnek a végtelenben, és a feltétel a felszínen egy gömb.
Így, képlet (7,57) ad megoldást a problémára. A áramvonalait az áramlás ábrán látható. 7.22. A gömb felülete ebben az esetben a felület a jelenlegi.
A eloszlása a „relatív” sebessége olyan gömbfelület
Így, azokon a pontokon (ábra. 7,22), és ahol, a sebesség, azaz a ez - a kritikus pont. A legnagyobb sebesség elérése, és mikor (ez a sebesség egyenlő, vagyis fele annyi a baleset áramlási sebesség).
Ismerve a sebesség eloszlás a gömb felülete, ki tudjuk számítani a nyomás eloszlása. Ha a sebesség nem függ az időtől (állandósult mozgás), akkor a Bernoulli integrál:
Ha a sebesség állandó, a nyomás eloszlását a gömb az azonos „abszolút” és „relatív” mozgást (lásd. 7,56), és ki lehet számítani a képlet (7,59). Képlet (7,59), ebből következik, hogy a nyomás a szimmetrikus pontok azonosak. Ezért nyilvánvaló, hogy a teljes erőt fejt ki a folyadék a merev gömb, pontosan nulla. Sphere nem ütközik, felhajtóerő is nulla.
Ez az eredmény, ismert, mint a D'Alembert paradoxon érvényes nem csak a körét, de bármilyen tetszőleges a végső test mozog állandó sebességgel egy ideális folyadék anélkül, hogy eltérnénk a testfelületre, és az a feltétel, hogy a folyadék a sebesség nulla ennél végtelenben. A paradoxon megszűnik az a tény, hogy a valóságban nem különült mozgást körül a gömb nem hajtjuk végre. A gömbfelület kúpos örvények, az áramlási mintázat megváltozik és a tört szimmetria a eloszlása nyomás az első és hátsó részei a a gömb felszínén.
Tekintsük most az esetben, ha az a gömb középpontján halad egyenes vonalban tengelye mentén a folyadék változó sebességgel. Ebben az esetben, a bizonytalan mozgást a folyadék, és tudja használni Cauchy integrálját a nyomáseloszlás - Lagrange formájában (7,56), és a folyadék sebessége a potenciális - általános képletű (7,54).
Nyilvánvaló, hogy a számítás a teljes erőt a képletben (7,56) kell használni, csak tagja
mert más tagjai a megadott nyomást, az ugyanazon a területen szimmetrikus pontokat.
Osztása a gömbfelület elemi csíkokra (. Ábra 7.23) a terület és integráló gömbbe az egész felületen, a kifejtett erő a gömböt a folyadék, megkapjuk a következő kifejezés:
Mi konstrukció az egyenlet a mozgás a vetülete a tengelyen a labda súlyát, hogy ami jár kényszeríteni eltekintve a folyékony valamilyen külső erő. mi lesz
Jelölő, átírjuk ez az egyenlet formájában
Ebből következik, hogy a hatálya alá fog mozogni a folyadék hatása alatt néhány külső erők ugyanúgy, mint akkor mozog hatása alatt ezek az erők az űrben, ha annak tömege változik. Az érték az úgynevezett szomszédos tömeget gömbök. Ez felével egyenlő tömege a folyadék által kiszorított a gömb. A jelenléte a külső környezet (a mi esetünkben - fluid) csökken csak a növekedés tehetetlenségi el.