I. példa
Következésképpen, Jordan szokásos formája mátrix sejtekből állnak számok Jordan I és -I, hogy az átlós. Sejtek száma a szám, amit ugyanazon átlós. Sejtek száma a számot az átlós -Nem érdekel.
2. példa Find a Jordán szokásos formája a mátrix
Következésképpen, az átlós a Jordán sejtek számát -I és 2. számú sejtek számát az átlós -Nem érdekel. A sejtek számát a 2-es szám a diagonális az azonos. Mivel a szám egy 3-szoros gyökér a karakterisztikus polinom, akkor a diagonális mátrix van egy Jordan blokk rend és az egyik Jordan blokk érdekében 2 a számot az átlós. ennélfogva
Példa 3. Keresse meg a Jordán szokásos formája a mátrix
Következésképpen szerint a Cayley-Hamilton-tétel. azaz lineáris operátor a mátrix nilpotens.
Jordan szokásos formája a mátrix megtalálható 2. § Ez
Let - lineáris operátor dimenziós lineáris tér - a mátrix némi alapja. Most azt mutatják megépítésére szolgáló eljárásra kanonikus alapján relatív. ismerve a Jordán szokásos formája a mátrixban. Ehhez elegendő megállapítani, hogy az átmenet mátrix az ennek alapján a szükséges gyűjtő. Mint az jól ismert, míg a
A Matrix. kielégíti a következő egyenletet az (I), megtalálható a következő módon. Mi szaporodnak egyenlet mindkét oldalát (I), a bal oldalon, és összes tagja a kapott egyenlőség bal oldalán. megkapjuk az egyenlőség
amely lehet tekinteni, mint egy homogén lineáris egyenletrendszer, amelyben az ismeretlenek azok az elemek, a mátrix. Bármilyen döntést a rendszer megfelel a további feltétel
Ez ad a kívánt mátrix. Egy ilyen megoldás azért létezik, mert a hasonlóságok és.
Exercise. Ismeretes, hogy a mátrix egy végtelen mező elemek, mint ez alatt a kiterjesztés mezőt. Bizonyítsuk be, hogy ezek hasonlóak a mező fölé.
5. § Általános Jordan normál formában.
Let - lineáris operátor a tényleges dimenziós lineáris tér. Mivel a karakterisztikus polinomja a kezelő érvénytelen lehet gyökerek, akkor a kanonikus alapján tekintetében. általánosságban elmondható, hogy nem létezik. Mindazonáltal a valós térben megtalálható néhány természetes helyettesítője a Jordán szokásos formája az üzemeltető mátrix.
Let - legyen irreducibilis polinom át a területen, és - a gyökerei. Tekintsük a négyzetes mátrix
érdekében. Jelölje meg és hívott egy általános sejt Jordan. Ez a mátrix felírható
ismételni a „átlós” időkben, és és - az identitás és nulla másodrendű mátrix.
Quasidiagonal mátrix. mindegyik „átlós” sejt, amely egy sejt vagy generalizált Jordan Jordan sejt, az úgynevezett generalizált Jordan mátrix. Különösen azt lehet.
Let - négyzetes mátrix a mező fölé. Generalizált Jordan mátrix hasonló a mátrixban. úgynevezett generalizált Jordan szokásos formája a mátrixban. A célja ennek a szakasznak, hogy bizonyítani, hogy létezik egy általános Jordan normál forma és szerezzen egy algoritmust építésére ilyen formában.
9. Tétel Van generalizált Jordán szokásos formája négyzet alakú matritsynad valós számok. Ez egyértelműen meghatározza fel a rendelést a „átlós” sejtek.
Ha a karakterisztikus polinomja a mátrix egyetlen igazi gyökerei, van egy mezőt a Jordán szokásos formája a mátrixban. Ez lesz szükség. Ezért azt az esetet, amikor a karakterisztikus polinomja a mátrix érvénytelen gyökerek. Az igazolást a tétel ebben az ügyben több lemmákból, megjegyezve, hogy az első a pályán van a Jordán szokásos formája a mátrixban. Mint korábban, mi jelöljük száma Jordan sejteket. állt a „diagonális” mátrix.
Bizonyítás. A képlet szerint (*) 4. §
Következésképpen csak azt mutatják, hogy - természetes. Könnyen belátható, hogy és így.