Geometriai ábrázolása komplex számok
A tengelyen Ox elrendezett összes valós szám, és az y-tengelyen - tisztán képzetes, azaz komplex számok formájában.
A repülőgép, amelyen képviselteti komplex számok úgynevezett komplex síkban (ez is hivatkozott C). x tengely az úgynevezett valós tengelyen. és az ordináta tengely - képzeletbeli.
A hossza a vektor. ábrázoló komplex szám. a modulus komplex szám:
és az a szög. Ezt a vektort, amely képezi a tengellyel Ox. Ez az úgynevezett érv egy komplex szám.
Nyilvánvaló, hogy a megadott szögben pontossággal.
Nevezzük a legfőbb értéke az érv - a szög tartományban. Szimbolikusan a legfőbb értéke az argumentum egy komplex szám tüntetni:
Ezután az egész értékrend az érvelés jelöljük:
Ábra. 1 könnyű megszerezni a kapcsolatban :. majd
Definíció. Bemutatása a komplex szám egy úgynevezett trigonometrikus forma egy komplex szám.
A rövidség kedvéért a komplex számok a trigonometrikus formában kényelmesen használható Euler-képlet:
Ezután egy komplex szám felírható:
Definíció. Ábrázolása egy komplex szám formájában az úgynevezett exponenciális formáját egy komplex szám.
Így a komplex szám felírható három egyenlő formában:
- algebrai jelölés a komplex számok;
- trigonometrikus forma egy komplex szám;
- az exponenciális formájának a komplex szám,
3. példa Record a komplex számok három formában eredménye:
a); b); b) és képviselik vektorok a síkon.
Határozat. a) - egy algebrai formájában a komplex szám. A modul és a vita egy komplex szám.
- trigonometrikus forma egy komplex szám;
- exponenciális formájának komplex szám.
b) - egy algebrai formájában a komplex szám. A modul és a vita a komplex szám, ahol tehát
- trigonometrikus forma egy komplex szám;
- exponenciális formájának komplex szám.
c) - egy algebrai formájában a komplex szám. A modul és a vita a komplex szám, ahol
- trigonometrikus forma egy komplex szám;
- exponenciális formájának komplex szám.
Képek a komplex számok ábrán mutatjuk be. 2.
4.3. Formula Moivre és a gyökér extrakcióval n-ed-fokú komplex szám
A számításnál a termék komplex számok írt trigonometrikus formában, azt látjuk, hogy a modult és az argumentum egy komplex szám a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
. Modul termék komplex számok egyenlő a termék a modulusz E számok :.
. Argumentum termék komplex számok érvek összegével egyenlő ezen számok :.
Ezekkel tulajdonságok, egy könnyen szerezni egy képletet az építőiparban egy komplex szám egész pozitív energia, nevezetesen:
vagy exponenciális jelöléssel:
Definíció. A gyökér a n-ed-fokú komplex szám úgynevezett komplex szám. amely építenek a mértéke n számát adja meg.
A definíciók vagy képletek Moivre világos, hogy a modul a kívánt gyökér. és a vita
Adj nagyobb értékeket. Ez nincs értelme, mert mi kap a meglévő argumentumérték (fel).
Következésképpen, a gyökér az n-ed-fokú komplex szám n különböző értékeket, amelyek azonosak modulok (), azaz minden érték a gyökér egy körön középpontú az eredete a sugár. és az érvek az egymást követő értékek különböznek szögben.
4. példa A következő képlettel Moivre Calculate:
Határozat. a) képviseli a számot a trigonometrikus formában. Van:
- trigonometrikus forma egy komplex szám.
Alkalmazása Moivre, megkapjuk:
b) képviseli a számot trigonometrikus formában. Van. ezért
- trigonometrikus forma egy komplex szám.
Alkalmazása Moivre, megkapjuk:
Példa 5. Keresse meg a gyökere minden értékek :.
Határozat. Mi jelenthet komplex szám trigonometrikus formában. itt van miért
A képlet szerint (1), azt találjuk:
Talált gyökerek megfelelnek az csúcsai egy szabályos ötszög, felirat olvasható sugarú kör origó középpontú (ábra. 3).