komplex számok
A „megoldás másodfokú egyenlet valós együtthatós”, azt láttuk, hogy a komplex terület bármely másodfokú trinomiális valós együtthatók gyökerei, gyökerei a két, ha a diszkrimináns nem nulla, és egy egyébként. Most, hogy megvan a képessége, hogy bontsa ki a gyökerek a komplex számok, akkor megtalálja a gyökereit másodfokú polinom komplex együtthatók, azaz az egyenlet megoldásához
hol. . - komplex számok.
Kijelölő. . megkapjuk az egyenlet. hol. Ilyen egyenlet tudjuk megoldani. Ezek eredményez két gyökér, ha. és egy if. Mivel akkor és csak akkor, ha a diszkrimináns nulla, a szám a gyökerek által meghatározott ugyanabban az állapotban, hogy a diszkrimináns nulla, vagy sem. Ezen túlmenően megjegyezzük, hogy ha. akkor. Ezért a gyökerei az egyenlet felírható
amely egyike azoknak a megoldásoknak (bármilyen!) egyenlet. Megjegyezzük, hogy a képlet (17,5) is felírható a (17.16) már elégedett az igazi.
17. példa 10 Problémák egyenletet.
Határozat. Találunk a diszkrimináns:
Mi megoldjuk az egyenletet. Ehhez találni. Let. Aztán. Elég találni egyetlen megoldás. A második szorzatából be. A képlet szerint (17.15)
Képletek szerint a fél érv azon a tényen alapul, hogy a. megkapjuk
Kiderül, hogy a területen a komplex számok gyökerek mindig létezik, nem csak a másodfokú polinom, hanem bármely polinom.
Tétel 17. 1Lyuboy nemnulla fokú polinom együtthatóit a komplex területen legalább egy ebben a mezőben zérus.
Ez a tétel hagyományosan nevezik az algebra alaptétele. Ennek bizonyítéka, hogy meglehetősen bonyolult, és ezért itt nem mutatjuk be.
Érdekes, hogy megtudja, mennyi a gyökerek a polinom foka. Azt már tudjuk, hogy ha. A gyökér egyedül, ha. Aztán, ahogy tanították az iskolában, a gyökerek a kettő. Ezen túlmenően, láttuk, hogy a polinom pontosan megkülönböztethető gyökerek ha.
Tétel 17. 2to bármely polinom nem nulla fok az a komplex számok igaz faktoring:
Proof hiányozni. Az olvasó megtalálja azt a [5].
Nyilvánvaló, hogy az expanziós szám. . vannak a gyökerei a polinom, valamint egyéb gyökerek nem lehet. Azonban, a számok között lehetnek azonosak. Ezért, a gyökerek lehet kevesebb, mint. Számú azonos zárójelben (17,17) nevezzük multiplicitása a megfelelő gyökér. Például, ha
majd - egy gyökér multiplicitás 2, és - a gyökerek a multiplicitás 1, vagy pedig az egyszerű gyökerek.
Az előző tétel könnyű megszerezni tétel, így a válasz arra a kérdésre, hogy hány gyökerei a polinom.
Tétel 17. 3B komplex terület bármely polinom pozitív fok pontosan a gyökereket, ha minden gyökér számít, ahányszor a sokfélesége.
A kérdés, hogy megtaláljuk a gyökerek a gyakorlati érdemes megjegyezni a következőket. ott formulák lehetővé teszi, hogy kifejezzék a gyökerei a polinom-együtthatók Ahhoz, hogy megtalálja a gyökereit polinomok a harmadik és a negyedik fokozatot. Egy polinom harmadik foka - a képlet Cardano. Megtalálni a gyökerei a polinom a negyedik fokozat csökken megtalálni a gyökereit a polinom harmadik foka módszer tartozó Ferrari. A fenti negyedik fokozat polinom azt is igazolta, hogy a gyökerek nem lehet kifejezni azok együtthatók keresztül gyökök.
Azonban még az polinomjai harmadik és negyedik fokozat, mint általában, a gyökerek használata nélkül a fenti képlet, mert így nagyon nehézkes kifejezéseket. Általában a gyökereket közelítjük a különböző számítási algoritmusokkal (lásd a CHAP. 9).