A valós számok, a királyné a matematika

természetes számok

Történetileg az első olyan természetes szám $ N $, ennek eredményeként a konverziós perdmetov. Sok ezek a számok végtelen, és alkot egy természetes szám $ N = \ $. Ebben halmaza megvalósítható műveletek az összeadás és szorzás. Ahhoz, hogy az kivonási művelet szükséges új számot, ami az egész számok: $ Z $. $ Z = N _ + \ cup N_- \ cup \ $. Így az egész számok mindig végezze összeadás, szorzás, kivonás.

racionális számok

Elvégzésének szükségességét osztály eredményezte a racionális számok Q $ $. $ Q = \, m \ Z, n \ N \> $.

Definíció. Két racionális számok: $ \ frac = \ frac $ - ha $ m_1 \ cdot n_2 = n_1 \ cdot m_2 $. Ez azt jelenti, hogy minden racionális szám lehet kifejezni egyedülálló formában nesokratmoy frakció $ \ frac $. $ GCD (m, n) = 1 $.

Tulajdonságai a racionális számok

1. Ennek eredményeként aritmetikai műveleteket racionális számok (összeadás, szorzás, kivonás, osztás, kivéve a nullával való osztást) úgy kapjuk meg, egy racionális szám.

2. Az a racionális számok rendezett, azaz minden páros racionális számok $ a $ és $ b $, vagy $ ab $.

3. Az a racionális számok feszes, azaz minden páros racionális számok $ a $ és $ b $ van egy racionális szám $ c $, $ a, hogy

Bármilyen pozitív racionális szám mindig ábrázolható, mint decimális, véges vagy végtelen periodikus. Például: $ \ frac = 0,6 $, $ \ frac = 0333. = 0, (3) $.

$ \ Frac = a_0, a_1a_1. a_kb_1b_2b_3. b_nb_1b_2b_3. b_n. $.

$ B_1b_2b_3. b_n. $ - az úgynevezett időszak tizedes pont, ahol nem minden b_i $ = 0 $.

Megjegyezzük, hogy a végső frakció felírható végtelen periodikus nulla időszakban. $ \ Frac = a_0, a_1a_1. a_k000000. $, $ A_k \ NE0 $.

Azonban más, a közös képviselet a racionális számok decimális formában: $ \ frac = a_0, a_1a_1. (A_k-1) 999. $.

Negatív racionális számok $ - \ frac $ zapisyvayutsyav tizedes bővítések racionális számok a nyomtatvány $ \ $ frac hozott ellentétes előjelű.

A szám $ 0 $ képviselteti formájában $ 0,000. $.

Így minden racionális szám mindig ábrázolható végtelen tizedes tört nem tartalmazó időszakos $ 0 $ időszak kivételével száma $ 0 $. Az ilyen ábrázolás csak.

irracionális számok

A racionális számok zárt a négy aritmetikai műveletek. Azonban a racionális számok nem minden esetben határozatot egyszerű egyenlet formájában $ x ^ 2-n = 0 $. Ezért van szükség az új számokat.

Megmutatjuk, hogy többek között a racionális számok nélkül szám, amelynek négyzete egyenlő három. A bizonyítás módszerével ellentmondás.

Tegyük fel, hogy van egy racionális szám $ \ frac $, hogy a négyzet alakú három: $ \ left (\ frac \ right) ^ 2 = 3 \, \, \, (1) $.

Feltesszük egy töredéke $ \ frac $ kiküszöbölhetetlen.

A jobb oldalon a (2) egyenlet osztható 3 eszköze és $ m ^ 2 $ osztható 3, így $ m $ osztható 3, ami azt jelenti, hogy a $ m = 3k $. Helyettesítő egyenlet (2), megkapjuk:

A bal oldalon az egyenlet $ (3) $ osztható $ 3 $, így a jobb oldali osztható $ 3 $. Ezért $ n ^ 2 $ osztható $ 3 $, ezért $ n $ osztható $ 3 $, ahol $ n = 3p $. Az eredmény: $ \ frac = \ frac $, hogy egy frakció $ \ frac $ volt behúzható, ami ellentmond annak a feltételezésnek. Ennélfogva, körében racionális ilyen szám, amelynek négyzete egyenlő három.

De ez a szám, amelynek négyzete egyenlő három, ott. Ez úgy reprezentálható, mint egy végtelen, nem periodikus frakció. És mi van egy újfajta számokat. Nevezzük őket irracionális.

Definíció. Irracionális szám bármely végtelen nem periodikus frakció.

A készlet minden végtelen gyűrűs frakció az úgynevezett set irracionális számok, és jelöljük $ I $.

valós számok

Ötvözi a racionális számok Q $ $ és irracionális számok $ I $ adja a valós számok halmaza $ R $: $ Q \ cup I = R $.

Tehát az összes valós számok is képviselteti magát egy végtelen tizedes tört: abban az esetben, periodikus és aperiodikus racionális szám esetén irracionális szám.

Összehasonlítás a valós számok

A valódi szám $ a = a_0, a_1a_2a_3 \ ldots a_n \ ldots $, $ b = b_0, b_1b_2b_3 \ ldots b_n \ ldots $ összehasonlításokat végezni a következők szerint:

1) Legyen $ a $ és $ b $ egyaránt pozitív: $ a> 0 $, $ b> 0 $, akkor:

$ A = b $, ha bármilyen $ k $ $ a_k = b_k $;

$ A> b $, ha $ \ létezik S $ $ \ forall kb_s $.

2) Legyen $ a> 0 $, $ b<0$, или иначе: $b<0

3) Legyen $ a $ és $ b $ is negatív: $ a<0$, $b<0$, тогда: