A geometriai jelentése a meghatározója a Gram mátrix
Az ingatlan 2.7. A meghatározója a Gram mátrixának vektorok lineárisan függő rendszer 0.
Bizonyítás. Hagyja, hogy a rendszer vektorok - lineárisan függ. Ezután a rendszer tartalmaz egy nulla vektor, és jóváhagyásra ebben az esetben nyilván, vagy van egy vektor lineáris kombinációja a vektorok az előző rendszer. A Gram mátrix kivonni az i-edik sorban, az előző string együtthatók. A meghatározója a Gram mátrix nem változik, és az i-edik sorban lesz nulla. A meghatározója a nulla vonal egyenlő nullával, és ezáltal, a meghatározója a Gram mátrix nulla.
Tekintsük a geometriai jelentése a Gram mátrix lineáris függetlenségének vektorok. Ha k = 1, akkor - négyzet hossza a vektor. Ha k> 1, a rendszer alkalmazható vektorok ortogonalizációs folyamat és a kivitelezést egy ortogonális rendszerben, a vektorok. Legyen P az átmenet mátrix rendszerről rendszerre. Ez a mátrix egy háromszög alakú, és annak fő diagonális 1 és annak meghatározó 1. Ezen túlmenően, és ezért a meghatározó a Gram mátrixok egyenlő. Mivel a rendszer a vektorok - ortogonális, a Gram mátrix ettől a vektor rendszer - az átlós és annak meghatározó egyenlő a termék a négyzetek a vektorok a rendszer. Így, az egyenlőség jön létre. Vegyük azt az esetet k = 2. Ezután a magassága a paralelogramma hossza csökkent az oldalsó (lásd. Ábra. 1). Következésképpen, a termék megegyezik a terület által kifeszített vektorok a paralelogramma és a determináns, a Gram mátrix a négyzet alakú területének a paralelogramma. Ha k = 3, a vektor egy ortogonális a vektor komponense, hogy a gép által kifeszített vektorok. Következésképpen, a meghatározója a Gram mátrix a három vektor egyenlő a tér térfogatának a paralelepipedon által kifeszített vektorok.
Mivel minden érv lehet általánosítani tetszőleges dimenzió, akkor az így megállapított tulajdon.
2.8 tulajdonát meghatározója a Gram mátrix rendszer vektorok egyenlő 0, ha a rendszer lineárisan függ, és a tér a k-dimenziós térfogata a paralelepipedon által kifeszített egy másik.
Mi most azt mutatják Hadamard egyenlőtlenség.
Bizonyítás. Ha a rendszer vektorok lineárisan függ, az egyenlőtlenség nyilvánvaló. Legyen ez a rendszer lineárisan független vektorok. Ez alkalmazható a folyamat ortogonalizáló és konstrukció egy ortogonális rendszerben, a vektorok. A vektor ortogonális komponenst vektor lineáris span a vektorok és ezért Bessel egyenlőtlenség (Tétel 2.2). Továbbá, amit szerettünk volna bizonyítani.
Hadamard egyenlőtlenség válik egyenlőség csak akkor, ha az eredeti rendszer ortogonális vektorok. Más esetekben az egyenlőtlenség - szigorú.
Következmény 2.5 Az egyenlőtlenségek és.
Bizonyítás. Az n-dimenziós térben aritmetikai meghatározzák a belső termék formula. Tekintsünk egy rendszer vektorok által alkotott mátrix oszlopait A. A Gram mátrixa ez a rendszer megegyezik a vektorok és Hadamard egyenlőtlenséget. Mivel a egyenlőtlenség jön létre. Alkalmazása az egyenlőtlenséget kapjuk az átültetett mátrix, mi származik.
Következmény 2.6 Let. Aztán.
Állítsa be és további, az indukció. A mátrix egy megrendelés és annak determináns és annak minden eleme egyenlő. Könnyen belátható, hogy az egyenlőtlenség (Következmény 2.6) felhívjuk ez a mátrix közötti egyenlőséget. 2.6