Tekintsük a függvény függvényének differenciálását
6. téma: Egy változó funkcióinak különbözeti kalkulációja
Egy változó függvényének származéka
Hagyja, hogy a függvény meghatározott időközönként legyen definiálva. Az argumentum növekményt ad. . akkor a függvény növekszik. Nézzük meg ennek a kapcsolatnak a korlátját, ha ez a korlát létezik, akkor a függvény deriváltja. A függvény deriváltja több jelöléssel rendelkezik :. Néha indexet használnak egy származék megjelölésében. amely jelzi, hogy a származék milyen változóban van.
Definíció. Származékát az függvény egy ponton úgynevezett határa az arány a növekmény funkció a növekmény az érvelés, ahol ez az érv növekmény nullához (ha ez a határérték létezik):
Definíció. Funkciót. Van egy származéka az intervallum minden pontján. ebben az intervallumban differenciálhatónak nevezik.
Definíció. A funkció származékának megkeresését differenciálásnak hívják.
Egy függvény valamelyik származékának értékét egy ponton az egyik szimbólum jelöli:.
Példa: Keresse meg a függvény egy deriváltját tetszőleges pontban.
A megoldás. Hozzáadunk egy értéket az értékhez. Lássuk a funkció növekedését egy ponton. . Legyen egy kapcsolat. Hagyjuk át a határt :. Így.
A származék mechanikai jelentése. Tehát hogyan vagy. azaz egy anyagpont egyenes vonalú mozgásának sebessége egy időben az út időszármazéka. Ez a származék mechanikai jelentése.
Ha egy függvény bármely fizikai folyamatot ír le, akkor a származék a folyamat sebessége. Ez a származék fizikai jelentése.
A származék geometriai jelentése: Tekintsük egy folyamatos görbe grafikáját. amelynek nem függőleges érintője van a ponton. Keresse meg a lejtőjét. hol van a tengely érintő szöge. Ehhez rajzoljon egy szekundert a ponton és a rajzon (1. ábra).
Jelölje ki - a szekvencia és a tengely közötti szöget. Az ábra azt mutatja, hogy a szelence lejtése
A funkció folytonossága miatt az inkrementum nullára is hajlamos; ezért a pont határtalanul megközelíti a görbét a pontig. de a szekant. megfordítva a pontot. érintődik. Angle. azaz . Következésképpen ,. így a tangens lejtése.
A görbe érintőszögének koefficiense
. Ezt az egyenlőséget újraszövegezzük :. azaz a ponton levő származék megegyezik a függvény meredeksége és a függvény meredeksége egy ponton, amelynek abszcissza egyenlő. Ez a származék geometriai jelentése.
Példa Keresse meg a függvény meredekségét a függvény görbéjéhez egy ponton.
Ha az érintési pont koordinátái (2. ábra), az érintő meredeksége:.
Az egy adott ponton egy adott irányba áthaladó egyenes egyenlete a következő formában van:. Ezután a tangens egyenletet írjuk:.
Definíció. A tangens pontján az érintőre merőleges egyenes vonalat a görbe normálisnak nevezzük.
A normál szögfaktor: (mivel a normál merőleges az érintőre). A normál egyenletnek az a formája:. if.
Példa: írja be az érintő és a normál egyenleteket egy görbehez abszcisszal.
A megoldás. Megtaláljuk. Megtaláljuk a származékot. Mivel és. akkor használjuk az egyenleteket és.
A kapott értékek helyettesítése és az érintő egyenleteinek megszerzése. azaz . A normál egyenlet: vagy.
Ha egy függvény véges származtatott egy ponton, akkor ettől kezdve differenciálható. Ha a függvény az intervallum minden pontján differenciálható, akkor ebben az intervallumban differenciálható.
Tétel 6.1 Ha egy függvény egy bizonyos ponton differenciálható, akkor benne folyamatos.
Az ellentétes tétel hamis. A folyamatos funkciónak nincs származéka.
Példa A függvény folyamatos az intervallumon (3. ábra).
A megoldás. Ennek a funkciónak a származéka
Egy ponton a funkció nem differenciálható.
Megjegyzés. A gyakorlatban gyakran szükséges komplex funkciók származékait találni. Ezért a differenciálási képletek táblázatában az argumentumot egy köztes argumentum váltja fel.
2). különösen;
3). különösen;
4). különösen;
Inverz trigonometrikus funkciók. . . :
A függvény megkülönböztetése azt jelenti, hogy megtalálja a származékát, vagyis a határértéket:. A határérték meghatározása azonban a legtöbb esetben nehézkes feladat.
Ha tudja a származékok alapvető elemi függvények és szabályok differenciálódás tudni az eredményt a számtani műveletek ezeket a funkciókat, akkor könnyen talál származékok elemi függvények, a szabályok szerint a származékos termékekre, amelyek jól ismertek az iskola természetesen.
Hagyja, hogy az függvények u legyen két függvény, amely egy bizonyos intervallumban differenciálható.
6.2. Tétel A két függvény összegének (különbsége) deriváltja megegyezik e függvények származékainak összegével (különbségével):.
A tétel minden véges számú kifejezésre érvényes.
Példa Keressen egy függvény származékát.
6.3 Tétel A származtatott termékek két funkció a termék a származék az első tényező, plusz a második termék az első tényező a második deriváltja :.
Példa Keressen egy függvény származékát.
Tétel 6.4 Egy adott két függvény származéka. ha egyenlő a frakció, amelynek számlálója az a különbség a munkálatok a nevező és számlálóban a származék a tört számlálója a származékot a nevező, és a nevező a tér a régi nevező :.
Példa Keressen egy függvény származékát.
A származék összetett függvény szükséges származék Ez a funkció a köztes álláspontot szorozva a származékot az érvelés a független közbenső érv
Ez a szabály érvényes marad, ha több köztes argumentum van. Szóval, ha. . . az
Legyen u, akkor egy komplex függvény legyen köztes argumentummal és független argumentummal.
Tétel 6.5 Ha a függvényben egy derivált van egy ponton. és a függvénynek van egy származéka a megfelelő ponton. akkor a bonyolult függvény származtatott a ponton. amit a képlet talál.
Példa Keressen egy függvény származékát
A megoldás. A komplex funkció differenciálódásának szabályát alkalmazzuk. A köztes argumentum. Ezért először meg kell ragadnunk az u függvény deriváltját, és meg kell szorozni azt a. Tehát hogyan. akkor, figyelembe véve az összetett függvény megkülönböztetésére vonatkozó szabályt, kapunk :. azaz
Az inverz függvény deriváltja megegyezik e függvény származékának kölcsönösségével:
Legyen u legyen kölcsönösen inverz függvény.
Tétel 6.6 Ha a függvény szigorúan monoton intervallumban, és nem egyenlő nullával a származék bármely pontján ebben a tartományban, akkor annak inverz is van egy-származékot a megfelelő ponton alábbi egyenlettel határozható meg, vagy.
Példa Keressen egy függvény származékát.
A megoldás. A fordított függvény megkülönböztetésére vonatkozó szabály segítségével megtaláljuk. Az inverz függvénynek származéka van. Következésképpen ,.
Definíció. Ha a függvény egy egyenlet. viszonylag megengedett. akkor a függvény explicit formában van megadva (explicit függvény).
Opredelenie.Neyavnaya funkciója egy argumentum, amik a két változó, az egyenlet nem lehet megoldani tekintetében ezek közül bármelyik sem.
Definíció. A három változót összekapcsoló egyenlet két argumentum implicit függvényét határozza meg. . vagy. vagy.
Nem mindig könnyű, és néha lehetetlen megoldani az egyenletet (pl. Vagy).
Ha az implicit függvényt egy egyenlet adja. akkor az a derivált megtalálásához nem szükséges megoldani az egyenletet. Ehhez meg kell különböztetni ezt az egyenletet. figyelembe véve ezt a funkciót. és a kapott egyenlet relatív.
Példa Keressen egy függvény származékát. amelyet az alábbi egyenlet adja :.
A megoldás. A függvény implicit. Megkülönböztetjük az egyenletet a. emlékezve erre. . Aztán megtaláljuk :.
Tekintsük a függvény függvényének differenciálását.
Hagyja, hogy a függvény parametrikus legyen: hol van a kiegészítő változó, amit a paraméternek neveznek.
Meg kell találni. Tegyük fel, hogy van egy egyedi inverz funkciója. Megkülönböztetjük az egyenletet a. mint komplex függvény, számolva köztes argumentumként. ; . Tehát hogyan. akkor megkapjuk:
A megoldás. A (4) képlet segítségével megkapjuk
Származékkal függvényében egy változó, bizonyos esetekben megtalálható sokkal könnyebb, ha először logaritmus függvény, ezt a módszert nevezik logaritmikus differenciálás.
A logaritmikus differenciálódást általában a teljesítményexponenciális függvény és a függvények termékeinek származtatásának megállapítására alkalmazzák. azokban az esetekben, amikor a származékot nem lehet szokásos módszerekkel találni, vagy a származék számítása nagyon nehézkes. Természetesen ez a művelet más esetekben is alkalmazható.
Definíció. Funkciót. amelyekhez az alap és az exponens független változók funkciói, energetikai exponenciálisnak nevezik.
Az ilyen funkciók származékát csak logaritmikus differenciálással számolják ki.
Példa Példa funkcióra. Find.
A megoldás. Logaritmikus függvény. kapunk
A kapott egyenletet különböztetjük meg. . Az utolsó egyenlőségről:
Tekintsük a funkciót. amelynek származéka a nullától eltérő pontban van :. Egy függvény összekötésével, annak határával és infinitezimális funkciójával kapcsolatos tételből tudunk írni. ahol a. vagy. Egy függvény növekménye két kifejezés és. amelyek végtelenek. Megjegyezzük, hogy ugyanannak a sorrendnek az infinitezimális funkciója. C. így hogyan. az a magasabb rendű függvény függvénye. .
Definíció. A kifejezés a függvény növekményének legfontosabb része.
Definíció Egy függvény egy ponton belüli különbsége a növekmény legfontosabb része, amely megegyezik a függvény növekményével a függvény származékának termékével, és amelyet a vagy. Megjegyezzük
Definíció. A különbséget az elsőrendű differenciálnak nevezik.
Egy független változó különbsége megegyezik a változó növekményével:
Valójában, mivel és. akkor.
Definíció: Egy függvény különbsége megegyezik e függvény származékának termékével a független változó különbségével:
Tehát hogyan. akkor a különbségek aránya és.
Példa: Keresse meg a függvény különbségét.
A megoldás. A képlet szerint:
Példa Keresse meg a függvény teljes növekményét és annak különbségét, és hasonlítsa össze az értékeiket a következő helyen:.
A megoldás. A teljes növekményt a következőképpen írja:
. Ezt a kifejezést konvertálja :. Definíció szerint, megtaláljuk a teljes differenciát :. Behelyettesítve. kapunk, és.
A különbség geometriai jelentése: A függvény egy ponton belüli különbsége megegyezik a függvény ordinátájának növekményével a függvény görbéjével ebben a pontban, amikor növekményt kap.
Magyarázzuk meg a kijelentést, ezért a függvény grafikáját tekintjük (4.
A grafikon érintő pontján függvényt rajzolunk. Tekintsük az érintő rendjét egy pontra. vegye figyelembe, hogy. a. Tekintsünk egy téglalap alakú háromszöget. amelyben. azaz . Mivel - a származék geometriai jelentése. A képletekből: és ezt megkapjuk. Három lehetséges eset van :. és - ha a függvény állandó.
A differenciál mechanikai jelentése: A pálya különbsége megegyezik a megszerzett útvonal növekményével, feltételezve, hogy egy adott időponttól kezdve. a pont egyenletesen mozog, megtartva a megszerzett sebességet.
Tekintsük egy pont egyenetlen vonalú mozgását, amelyet a törvénynek megfelelően végeztünk. hol van az út hossza, az az idő. Az inkrementális idő megfelel az útvonal növekményes értékének:. Ez a képlet az utat valóban növekszik egy bizonyos időtartam alatt.
Számoljuk ki az eltérési pályát. Mert - a sebesség egy időben. akkor.
Mivel a származék egy származtatást tartalmaz, a számítási szabályok a származékos számítás szabályait használják:
1) Ha a függvény állandó. akkor a különbsége nulla; .
2) A függvény különbsége megegyezik a függvény növekményével; (a független változó különbsége megegyezik a növekményével).
3) Az összeg különbözete :.
4) A termék különbözete :.
5) A hányados különbsége :.
6.7. Tétel A kompozitfüggvény különbsége megegyezik e függvény származékának termékével a közbenső argumentummal a közbenső argumentum különbségével:
Definíció. és - a különbség formája nem változott, függetlenül attól, hogy az argumentuma független változó vagy egy érv függvénye. A különbség ezen tulajdonságát az első differenciálformának az invarianciája (invariancia) nevezik.
Hadd legyen. Az x argumentum néhány folytonos függvénye.