Az ábra területe és mérete
Minden személy képviseli, hogy a szoba területe, a telek területe, a felület, amelyet meg kell festeni. Azt is megérti, hogy ha a telkek azonosak, akkor területük egyenlő; hogy a lakás területe a szobák területe és más helyiségeinek területe.
Ezt a szokásos látószöget a geometriában definiáljuk, ahol egy adott terület területéről beszélünk. A geometriai alakzatok azonban különböző módon vannak elrendezve, ezért a területről beszélve bizonyos számú alakot különítenek el. Például, tekintse meg a sokszög területét, egy tetszőleges síkforma területét, a polyhedron felületét stb. A mi természetünkben csak egy poligon területéről és egy tetszőleges sík alakról beszélünk.
A szegmens hosszához és a szöghez hasonlóan a "consist of" fogalmát használjuk, és a következőképpen definiáljuk: az F ábra az F1 és F2 ábrákból áll. Ha ez az unió, és nincsenek közös belső pontjaik.
Ugyanebben a helyzetben azt mondhatjuk, hogy az F ábra az F1 és F2 ábrákra oszlik. Például az F ábrán látható, a 2a. Ábrán bemutatott ábra szerint az F1 és F2 ábrákból áll. mert nincsenek közös belső pontjaik. Az F1 és F2 ábrák a 2. ábrán, b közös belső pontokkal rendelkeznek, ezért nem lehet azt állítani, hogy az F ábra az F1 és F2 ábrákat tartalmazza. Ha az F ábra az F1 és F2 ábrákból áll. majd írja: F = F1 Å F2.
Definíció: Az ábra területe pozitív érték, amelyet minden egyes számra megadunk, így: 1) azonos számok egyenlő területekkel rendelkeznek; 2) ha az ábra két részből áll, akkor területe megegyezik e részek területének összegével.
Annak a területnek a mérésére, ahol egy számot kell megadni, egy egységterületet kell megadnia. Általános szabály, hogy az ilyen egység egy olyan terület, amelynek egy oldala egy szegmensnek felel meg. Elfogadjuk, hogy az E mező betűjelével jelöljük az egység négyzetének területét, és az S (F) ábra területének méréséből kapott számot. Ezt a számot az F ábra területi számának kell nevezni az E terület kiválasztott egysége számára. Meg kell felelnie a feltételeknek:
1. Az S (F) szám pozitív.
2. Ha a számok megegyeznek, akkor területük számértékek egyenlőek.
3. Ha az F ábra F1 és F2 ábrákból áll. akkor az ábra területének számtani értéke megegyezik az F1 és F2 ábrák területeinek számértékével.
4. Ha egy területegységet kicserélnek, egy adott F terület területi számának értéke megnöveli (csökkenti) azt az összeget, amennyivel az új egység kisebb (nagyobb), mint a régi.
5. Az egység négyzetének számszerű értéke 1-nek, azaz 1-nek. S (F) = 1.
6. Ha az F1 ábra az F2 ábrán látható. akkor az F1 ábra területének számértéke nem nagyobb, mint az F2 alakú terület számértékének. azaz F1 Ì F2 Þ S (F1) ≤ S (F2).
A geometriában bizonyított, hogy sokszögek és tetszőleges lapos alakok esetén ilyen szám mindig létezik, és minden egyes szám esetében egyedi.
Azok a számok, amelyekben a területek egyenlőek, azonosak.
A téglalap, a háromszög, a paralelogramma területének kiszámításához használt képleteket régóta készítették. A geometriában a terület meghatározása alapján indokolt, míg a terület numerikus értékét területnek nevezzük, és a szegmens hosszának számszerű értéke a hossza.
Tétel: A négyszög területe megegyezik a szomszédos oldalak hosszának termékeivel.
Emlékezzünk arra, hogy a "terület" szó ebben a megfogalmazásban a terület számértékét jelenti, és a "hossza" szót - a szegmens hosszának számértékét.
Bizonyítás. Ha F egy adott téglalap, és az a, b számok az oldala hosszának, akkor S (F) = a # 8729; b. Bizonyítsuk be ezt.
Legyen a és b természetes szám. Ezután az F téglalap elosztható az egység négyzetekbe (3. ábra): F = E Å E Å E Å. Å E. Az összes számuk a # 8729; b, mivel b sorok vannak, amelyek mindegyikében van négyzet. Így S (F) = S (E) + S (E) + ... + S (E) = a # 8729; b # 8729; S (E) = a # 8729;
Bizonyítás. Hagyja, hogy az ABCD párhuzamos legyen, amely nem téglalap (4. A merőleges CE-t a C csúcsról az AD vonalra dobjuk. Ezután S (ABCE) = S (ABCD) + S (CDE).
A merőleges BF-t a B csúcsról az AD vonalra dobjuk. Ezután S (ABCE) = S (BCEF) + S (ABF).
Mivel az ABF és a CDE háromszögek egyenlőek, területük is egyenlő.
Ebből következik, hogy S (ABCD) = S (BCEF), azaz. az ABCD paralelogramma területe megegyezik a BCEF téglalap területével, és egyenlő BC # 8729; BF, és BC = AD, majd S (ABCD) = AD # 8729; BF.
Ebből következik a következmény: a háromszög területe az oldala termékének fele a magasságával.
Ne feledje, hogy az "oldal" és a "magasság" szavak ebben a kijelentésben a megfelelő szegmensek hosszának számértékét jelölik.
Tétel: A rendszeres sokszög területe a körkörös termék sugaraival megegyezik a kerületének termékének felével.
Ha a kerülete egy szabályos sokszög betűvel jelöljük P, a sugara a beírt kör - r, szabályos sokszög terület - S, akkor szerint ezt a tételt, S = P # 8729; r.
Bizonyítás. A rendszeres n-gont n háromszögekre osztjuk, amelyek összekapcsolják az n-gon csúcsait az ívelt kör középpontjával a szegmensek között (5. ezek
A háromszögek egyenlőek. Mindegyikük területe # 8729; r, ahol egy a rendszeres n-gon oldalán. Ezután a sokszög területe # 8729; r # 8729; n, de egy # 8729; n = P. Ezért S =
Ha F tetszőleges sokszög, akkor a területet úgy találjuk meg, hogy a sokszöget háromszögekre osztjuk (vagy más olyan számokra, amelyekre a területszámítási szabályok ismertek). Ebben az összefüggésben felmerül a kérdés: ha egy és ugyanazon poligon különböző részekre van osztva és megtalálja a területüket, akkor a poligonrészekből kapott összegek azonosak lesznek? Bebizonyosodik, hogy a terület definíciójában megfogalmazott feltételek alapján minden poligon területét egyedileg határozták meg.
A geometriai egyenlõség és egyenletesség mellett az egyenlõképesség arányát is figyelembe veszik. A számok fontos tulajdonságai kapcsolódnak hozzá.
Az F1 és F2 poligonok egymásnak megfelelőek, ha egyenlő részekre oszthatók.
Például az ABCD párhuzamos és az FBCE téglalap egyenlő távolságra helyezkednek el (4. ábra), mivel a parallelogram az F1 és F2 ábrákból áll. és a téglalap - az F2 és F3 ábrákon. ahol F1 = F3.
Könnyű észrevenni, hogy az egyenlő összetételű számok egyformán nagyok.
F.Boyai magyar matematikus és a német matematika amatőr P.Gervin bizonyította a tételt: minden két egyenlő nagyságú poligon egymásba rendezhető. Más szóval, ha két poligonnak egyenlő területe van, akkor mindig képviselhetők párosan egyenlő részekből.
Boyay-Gervin tétele elméleti alapként szolgál a problémák átalakításában a számok átalakításában: az egyiket részekre vágják, a másik pedig le van hajtva. Kiderül, hogy ha a számok sokszögűek és azonos területűek, akkor a probléma szükségszerűen megoldható.
5. Az önkényes sík alakja és mérete
Megállapítottuk, hogy a poligon területének kiszámítása alapvetően csökkenti a háromszögek területének kiszámítását, amelybe a sokszög megosztható. És hogyan lehet megtalálni az önkényes lapos alak területét? És mi ez a szám kifejezni ezt a területet?
Legyen F önkényes sík alak. A geometriában feltételezzük, hogy S (F) területe van, ha az alábbi feltételek teljesülnek; vannak olyan sokszögű alakok, amelyek F-et tartalmaznak (ezt borítónak nevezzük); vannak olyan sokszögű alakok, amelyek F-ben vannak (mi bejövőnek nevezzük őket); Ezeknek a sokszögű alakoknak a területei olyan kevéssé változnak, mint az S (F). Mutassuk meg ezeket a rendelkezéseket. A 7. ábra azt mutatja, hogy a Q ábra egy P ábrát tartalmaz, azaz. Q, egy burkoló alak, és a P figurát F-ben tartalmazzák, azaz. P egy bejövő alak. A halmazelméleti nyelvben ez azt jelenti, hogy következésképpen le is írható.
Ha a különbség a környezeti tér és a bejövő formájú lehet tetszőlegesen kicsi, akkor, amint az a matematika, van egy egyedi szám S (F), kielégíti az egyenlőtlenséget bármilyen sokszög alakok a P és Q Ez a szám, és megtalálják a terület az ábra F.
Ezeket az elméleti javaslatokat például akkor használjuk, amikor a körkörös terület képletét származtatjuk. Ehhez egy r sugarú kör F vpisy vayut jobb n-szög P és a köré írt kör a megfelelő n-szög K. Ha jelöli a szimbólumok S (Q) és az S (P) a sokszög terület, mi lesz, hogy. ahol növekvő számú oldallal beírt és körülírt multi-szögek nagysága S (P) növekedni fog, míg a fennmaradó, kevesebb mint az a terület egy kör, és a terület S (Q) csökken, de továbbra is nagyobb területet a kör.
A rendszeres n-gon területe megegyezik a kerületének termékének felével az ívelt kör sugarával. Ahogy az oldalainak száma növekszik, a perem a kerületig terjed. és a terület a körzet területére. Ezért a Scr = r 2.
A sík alakú területek közelítő mérésére különböző eszközöket, különösen egy raklapot lehet használni.
A raklap egy átlátszó lemez, amelyen négyzethálót alkalmaznak. A négyzet oldala 1, és minél kisebb ez az oldal, annál pontosabban tudod megmérni az adott területet.
Az adott F ábrán egy raklapot rendelünk. Az F ábrán belül teljesen fekvő négyzetek P poligonális alakot alkotnak; Az F ábrán közös pontokat alkotó négyzetek, amelyek teljesen az F ábrán belül helyezkednek el, egy sokszögű Q alakot alkotnak (8. Az S (P) és az S (Q) négyzeteket egyszerűen a négyzetek kiszámításával találjuk meg. Az F ábra területének hozzávetőleges értékéhez a talált területek számtani középértéke:
A kezdeti során matematika a diákok mért négyzet alakú alkalmazásával paletták ily módon: számolja meg a négyzetek, amelyek beleesnek az ábrán F, és a négyzetek számát, amelyen keresztül az ábrán kontúr; akkor a második szám félig fel van osztva és hozzáadódik az elsőhöz. A kapott összeg az F. ábrán látható terület.
Ezeket a lépéseket nem nehéz igazolni. Legyen m - négyzetek számát, hogy elférjen a forma F, és az n - négyzetek száma, amelyen keresztül az ábrán kontúr F. Ekkor S (p) = M, és az S (Q) = m + n.
A raklap lehetővé teszi, hogy az F ábra területét pontosan pontosan mérje meg. Ahhoz, hogy pontosabb eredményt érhessen el, kisebb raklapokkal kell rakodnia. De ellenkezőleg: az azonos alakú raklapokat ugyanúgy másolhatjuk az ábrán, mint az F. ábrán. Az aritmetikai átlagértékek jobb approximációt mutatnak az F. ábrán látható terület számértékével.