Általános és minta variancia
Annak érdekében, hogy jellemezhessük az általános népesség X kvantitatív jellemzőinek szórását a középérték körül, egy összetett jellemzőt - általános varianciát vezetünk be.
Az általános variancia a populáció jellemzői értékének eltérése négyzetének aritmetikai átlaga az átlagértéktől.
Ha az összes értéket. . az N teljes térfogatú populáció jele különbözik, akkor
Ha a jellemző értékei. . vannak frekvenciák. . . és. az
1. példa Az általános populációt egy elosztási táblázat adja:
Keresse meg az általános varianciát.
Megoldás: Nézzük az általános átlagot:
Találjuk meg az általános diszperziót:
A variancia mellett az összetett karakterisztikát, az átlag négyszöges eltérést használjuk arra, hogy jellemezzük az általános népesség jellemzőinek szórását az átlagérték körül.
Az általános átlagos négyzetes eltérés (standard) az általános variancia négyzetgyöke.
Annak érdekében, hogy a minta mennyiségi jellemzőinek megfigyelt értékeinek szórása a középérték körül körbe kerüljön, egy összetett jellemzőt vezetünk be, egy minta varianciáját.
A szelektív variancia a megfigyelt jellemző értékek átlagos értékétől számított aritmetikai négyzetének átlaga.
Ha az összes értéket. . az n térfogatú minta jellemzői eltérőek, akkor
Ha a jellemző értékei. . vannak frekvenciák. . . és. akkor.
2. példa A mintavételi készletet egy elosztási táblázat adja meg:
Keresse meg a minta varianciáját.
Megoldás: Nézzük meg a minta átlagát:
Nézzük meg a minta varianciáját:
A variancia mellett az összetett karakterisztikát, az átlag négyszöges eltérést használják a minta jellemző értékének szórását a középérték körül.
A szelektív átlageltérés (standard) a minta variancia négyzetgyöke:
A variancia kiszámítása, függetlenül attól, hogy szelektív vagy általános, egyszerűsíthető a következő tétel alkalmazásával.
A disszipáció megegyezik a jellemző értékek átlag négyzetével, a teljes átlag négyzetével mínusz.
Egy példa. Keresse meg a minta varianciáját egy adott eloszláshoz
A megoldás. Nézzük meg, hogy a minta jelentése:
Keresse meg a jellemző értékek átlag négyzetét:
Tegyük fel, hogy meg kell becsülnünk (megközelítőleg) az ismeretlen általános varianciát a mintaadatokból. Ha a variancia becslése és take minta eltérés, akkor ezt a becslést vezetne szisztematikus hibákat, így egy alacsony értéke a lakosság szórás. Ennek az az oka, hogy mivel lehet bizonyítani, a minta szórása torzított becslést más szóval, a várakozás minta eltérés nem egyenlő a lakosság szórás becsült is.
Könnyű "fixálni" a minta-varianciát, hogy matematikai várakozása megegyezzen az általános varianciával. Elegendő, hogy ez egy töredékkel szaporodjon. Miután ezt megtettük, megkapjuk a korrigált varianciát, amelyet általában:
A korrigált variancia természetesen az általános variancia objektív becslése.
Így általános diszperziós becslésként a korrigált varianciát alkalmazzuk.
Az általános népesség szórásának becsléséhez használja a "korrigált" szórt eltérést, amely egyenlő a korrigált variancia négyzetgyökével:
10.1.11 Az értékelés pontossága, megbízhatósága. Bizalmi intervallum
Egy pont olyan becslés, amelyet egyetlen szám határoz meg. A fentiekben említett összes becslés a pont. Ha kis mennyiséget választ ki, a pontbecslés jelentősen eltérhet a becsült paramétertől, azaz súlyos hibákhoz vezetnek. Emiatt kis mintaméret esetén intervallumbecsléseket kell használni.
A becslést intervallumnak nevezik, amelyet két szám határoz meg - az intervallum végét. Az időközi becslések lehetővé teszik a becslések pontosságának és megbízhatóságának megállapítását (ezeknek a fogalmaknak az értelmezését az alábbiakban ismertetjük).
Hagyja, hogy a minta adatairól származó statisztikai jellemző az ismeretlen paraméter becsléseként szolgáljon. Ezt állandó számnak tekintjük (lehet, hogy egy véletlen változó). Nyilvánvaló, hogy pontosabban határozza meg a paramétert. Minél kisebb a különbség abszolút értéke. Más szóval, ha és. akkor a kisebbek. annál pontosabb az értékelés. Így egy pozitív szám jellemzi a becslés pontosságát.
A becslés megbízhatósága (megbízhatósági valószínűsége) az egyenlőtlenség megvalósulásának valószínűsége. Általában az értékelés megbízhatóságát előzetesen adják meg, és az egységhez közel álló szám minõség. A legelterjedtebb a 0,95 megbízhatóság; 0,99 és 0,999.
Hagyja, hogy a valószínűsége. egyenlő. .
Az egyenlőtlenség helyettesítése egyenértékű kettős egyenlőtlenséggel. vagy. van
Ezt a kapcsolatot az alábbiak szerint kell értelmezni: annak valószínűsége, hogy az intervallum ismeretlen (ismeretlen) paramétert tartalmaz. egyenlő.
A bizalmat intervallumnak nevezik. amely ismeretlen paramétert tartalmaz egy adott megbízhatósággal.
A konfidenciaintervallumok módját az amerikai statisztikus Yu. Neiman fejlesztette ki, amely R. Fisher angol statisztikájának elképzelésein alapul.