2 Morse lemma
2 A Morse Lemma
Most azt mutatjuk be, hogy egy nem-regenerált kritikus pont közelében egy függvény helyettesítheti a változókat egy egyszerű standard formára. Mivel ez az anyag nem tekinthető a tudósok standard matematikai poggyászának, részletes bizonyítékot nyújtunk.
LEMMA 4.1. Legyen egy függvény sima az eredet egyes szomszédságában, majd a származás bizonyos (esetleg kisebb) szomszédságában ilyen funkciók vannak
minden sima és
Ennélfogva megtehetjük
K részleges megkülönböztetése azt mutatja, hogy
Most bizonyítani tudjuk a Morse lemma (számunkra ez egy tétel!). (a Morse lemma). Legyen u egy zökkenőmentes működés nem degenerált kritikus pontja Az u pont szomszédságában megadhatunk egy helyi koordinátarendszert, amely megfelel az összes feltételnek
Bizonyítás. Át tudjuk adni az elejét, feltételezhetjük, hogy bevalljuk is, majd a 4.1
némely szomszédságban. Mivel a nulla kritikus pont, van
Ezért a 4.1. Lemma ismét léteznek olyan sima funkciók, amelyek
és írhat
Ha helyettesíti a
akkor a (4.1.) egyenlet továbbra is igaz és ugyanabban az állapotban van
A kapcsolat kétszeres részleges differenciálása
Nem szinguláris, mivel a 0 egy nem kritikus pont.
Indukcióval vitatkozva azt feltételezzük, hogy a származás bizonyos szomszédságában olyan helyi koordináták léteznek, mint az
Ha szükséges, ha szükségünk van az utolsó koordináták lineáris változására (mint ha a négyzet alakja a 2. fejezet 5. §-ában átlós alakra csökken), feltételezhetjük, hogy
Az inverz függvény tétele, a zárt függvény egy bizonyos szomszédságában a tartalom (Ez a fő oka annak a ténynek, hogy a Morse lemma általában véve érvényes csak helyben.) Átmegyünk a koordináták helyett
amely (ismét az inverz függvény tételével) helyi diffeomorfizmus. most
ez a képlet pontosan megegyezik a c képletével, csak helyettük. Ugyanígy indukcióval a tétel bizonyított.
Ezt a bizonyítékot össze kell hasonlítani a kvadratikus forma diagonális alakra történő csökkentésével. A forma függvénye
hányan közülük. Az alkalmazásokban sokkal gyakoribbak a minimák és a másodpercek, mint a maxima (n-nyereg).
Mivel a Morse nyereg természetesen egy elszigetelt kritikus pont, és a sima helyettesítések megőrzik egy elkülönülő kritikus pont tulajdonságát, az összes nem degenerált kritikus pontot elkülönítik.
Az I szám egy kritikus pont topológiai típusának invariánsja a következő értelemben: a koordináták sima invertible változása nem változik
A nem-Moroszov-kritikus ponton a Hesse-mátrix degenerálódik. Mérjük meg, hogy milyen degenerálódott az, hogy számoljuk a testét (5. Fejezet, 2. Fejezet), mondjuk, azon független irányok számát, amelyeken keresztül degenerálódik. Ez a szám nem változik a sima és átváltható koordináták változásai alatt, és Ch. 7. és 8. sz.